14.5-bo'lim : Lagrange multiplikatorlari
5. \(f\left( {x,y,z} \right) = 3{x^2} + y\) ning \(4x - 3y = 9\) va \({x^2} + {z^2} = 9\) limitlari bo‘yicha maksimal va minimal qiymatlarini toping.
Yechim
Muammoni hal qilishdan oldin, shuni ta'kidlaylikki, ikkinchi cheklov kvadrat bo'lgan ikkita atamaning yig'indisi (va shuning uchun ijobiy). Shuning uchun \(x\) ning mumkin bo'lgan eng katta diapazoni \( - 3 \le x \le 3\) hisoblanadi (eng katta qiymatlar \(z = 0\) bo'lsa paydo bo'ladi). Biz \(z\) uchun shunga o'xshash diapazonni olamiz.
Endi, birinchi cheklov ikki (yoki undan ko'p) ijobiy sonlarning yig'indisi emas. Biroq, biz \(x\) \( - 3 \le x \le 3\) bilan cheklanganligini allaqachon aniqladik va bu \( - 7 \le y \le 1\)ni \(y\) ning eng katta diapazoni sifatida beradi. E'tibor bering, birinchi cheklov shunchaki chiziq ekanligini tan olsak, bu diapazonni osongina olishimiz mumkin va shuning uchun \(y\) ning ekstremal qiymatlari \(x\) ning ekstremal qiymatlariga mos keladi.
Shunday qilib, biz endi bilamizki, bizning javoblarimiz Ekstremal qiymat teoremasi bo'yicha ushbu cheklangan diapazonlarda bo'lishi kerak, biz bu muammo uchun mutlaq ekstremallar paydo bo'lishini bilamiz.
Ushbu qadam ushbu muammolarda muhim (va ko'pincha e'tibordan chetda qoladigan) qadamdir. Bu har doim mutlaq ekstremallarni topishga harakat qilishdan oldin mavjudligini bilishga yordam beradi!
2-qadam
Bu erda birinchi qadam bu muammoni hal qilishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasini yozishdir.
\[\begin{align*}6x & = 4\lambda + 2x\mu \\ 1 & = - 3\lambda \\ 0 & = 2z\mu \\ 4x - 3y & = 9\\ {x^2} + {z^2} & = 9\end{align*}\]3-qadam
Ushbu tizimlarning aksariyati uchun yechim topish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab echim usullari mavjud. Ba'zilari boshqalarga qaraganda qiyinroq bo'lishi mumkin, ammo afsuski, hal qilish jarayonini boshlamaguningizcha, qaysi biri "oson" va qaysi biri "qiyin" bo'lishini bilishning hech qanday usuli bo'lmaydi.
Bunday tizimlardan qo'rqmang. Ular, ehtimol, sizdan shu paytgacha hal qilishni so'ragan narsalarga o'xshamaydi. Aksariyat tizimlarni siz allaqachon bilgan va birinchi qarashda ko'rinadigan darajada "yomon" bo'lmagan usullar yordamida hal qilish mumkin. Ba'zilari qo'shimcha usullarni talab qiladi va juda tartibsiz bo'lishi mumkin, lekin ko'pincha siz qanday foydalanishni biladigan texnikalarni o'z ichiga oladi, siz ularni tenglamalar sistemasini echish kontekstida hech qachon ko'rmagan bo'lishingiz mumkin.
Ushbu tizim yordamida biz boshlash uchun "bepul" olamiz. E'tibor bering, ikkinchi tenglamadan biz tezda \(\lambda = - \frac{1}{3}\) ni tizimdagi boshqa o'zgaruvchilarning qiymatlaridan qat'iy nazar ko'rishimiz mumkin.
4-qadam
Keyingi, uchinchi tenglamadan bizda \(z = 0\) yoki \(\mu = 0\) borligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun bizda ikkita imkoniyat bor. Keling, avval \(z = 0\) ni ko'rib chiqaylik.
Bunday holda, biz to'g'ridan-to'g'ri ikkinchi cheklovga o'tishimiz mumkin,
\[{x^2} = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \pm 3\]Biz, o'z navbatida, \(y\) uchun qiymatlarni olish uchun ushbu imkoniyatlarning har birini birinchi cheklovga ulashimiz mumkin.
\[\begin{align*}x = - 3\,\,\,\,\, & :\,\,\,\,\,\,\,\, - 12 - 3y = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}y = - 7\\ x = 3\,\,\,\,\,\,\,\, & :\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,12 - 3y = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}y = 1\end{align*}\]Xo'sh, bu bosqichdan biz ikkita mumkin bo'lgan mutlaq ekstremalga egamiz.
\[\left( { - 3, - 7,0} \right)\hspace{0.25in}\left( {3,1,0} \right)\]5-qadam
Endi orqaga qaytaylik va agar \(\mu = 0\) bo'lsa nima bo'lishini ko'rib chiqaylik. Agar biz buni tizimimizdagi birinchi tenglamaga qo'shsak (va \(\lambda = - \frac{1}{3}\) ekanligini ham bilganimizni eslasak), biz quyidagilarni olamiz:
\[6x = - \frac{4}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}x = - \frac{2}{9}\]\(y\) (birinchi cheklovdan) va \(z\) (ikkinchi cheklovni shakllantirish) qiymatlarini olish uchun biz buni har bir limitlarimizga ulashimiz mumkin. Mana bu ish,
\[\begin{align*}4\left( { - \frac{2}{9}} \right) - 3y = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,y = - \frac{{89}}{{27}}\\ & \,\,{\left( { - \frac{2}{9}} \right)^2} + {z^2} = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,z = \pm \frac{{5\sqrt {29} }}{9}\end{align*}\]Bu yana ikkita potentsial mutlaq ekstremalga olib keladi.
\[\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}}, - \frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right)\hspace{0.25in}\,\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}},\frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right)\]6-qadam
Umuman olganda, bizda mutlaq ekstremal bo'lishi mumkin bo'lgan to'rtta nuqta borga o'xshaydi. Shunday qilib, mutlaq ekstremalni aniqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu nuqtalarning har biridagi funktsiyani baholashdir. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[f\left( { - 3, - 7,0} \right) = 20\,\,\,\,\,\,\,f\left( {3,1,0} \right) = 28\,\,\,\,\,\,\,f\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}}, - \frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right) = - \frac{{85}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,f\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}},\frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right) = - \frac{{85}}{{27}}\]Mutlaq maksimal 28 ga teng, bu \(\left( {3,1,0} \right)\) da sodir bo'ladi. Mutlaq minimal - \( - \frac{{85}}{{27}}\), bu \(\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}}, - \frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right)\) va \(\left( { - \frac{2}{9}, - \frac{{89}}{{27}},\frac{{5\sqrt {29} }}{9}} \right)\) da uchraydi. Hayajonlanmang bir nechta nuqtalarda yuzaga keladigan mutlaq ekstremal. Ba'zida bu muammolar bilan sodir bo'ladi.
Ushbu muammoni tark etishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, bu holda mutlaq ekstremaning qiymati (joylashuvdan farqli o'laroq) aslida \(z\) qiymatiga hech qanday tarzda bog'liq emas edi, chunki biz ushbu muammoda optimallashtirgan funktsiya \(z\) ga bog'liq emas edi. Bu ba'zida sodir bo'ladi va bu sodir bo'lganda, biz bu haqda tashvishlanmasligimiz kerak.
Ammo shuni yodda tutingki, mutlaq ekstremal joylashuv uchun \(z\) qiymatlari hali ham kerak. Bizga joylashuv uchun \(z\) qiymatlari kerak, chunki mutlaq ekstremani beradigan nuqtalar cheklovni qondirish uchun ham talab qilinadi va bizning muammomizdagi ikkinchi cheklov \(z\) ni o'z ichiga oladi!