14.5-bo'lim : Lagrange multiplikatorlari
4. \(x + 9{y^2} + {z^2} = 4\) cheklovi bo'yicha \(f\left( {x,y,z} \right) = xyz\) ning maksimal va minimal qiymatlarini toping. Ushbu muammo uchun \(x \ge 0\) deb faraz qiling. Nima uchun bu taxmin kerak?
Yechim
Ushbu muammoni hal qilishda davom etishdan oldin, keling, nima uchun \(x \ge 0\) bu muammo uchun zarur degan taxminni ko'rib chiqaylik.
Javob oddiy. Bunday farazsiz bu funktsiya mutlaq ekstremalga ega bo'lmaydi.
Agar \(x\)-da hech qanday limitlar bo'lmasa, biz \(x\)-ni o'zimiz xohlagan darajada katta va salbiy qilishimiz mumkin va biz juda katta \(y\) va/yoki \(z\) ni tanlash orqali cheklovga javob bera olamiz. Shuni ham yodda tutingki, \(y\) va \(z\) ikkalasi ham kvadrat bo'lgani uchun biz ularni salbiy yoki ijobiy deb tanlashimiz mumkin.
Agar biz \(x\), \(y\) va \(z\) uchun tanlovlarimizni qabul qilsak va ularni funktsiyaga ulagan bo'lsak, funksiya xuddi shunday katta bo'lar edi. Bundan tashqari, biz \(x\) ni qanchalik kattaroq tanlagan bo'lsak, mos \(y\) va/yoki \(z\) ni tanlashimiz kerak bo'ladi va shuning uchun bizning funktsiyamiz shunchalik katta bo'ladi. Va nihoyat, yuqorida aytib o'tilganidek, biz \(y\) va \(z\) ni ijobiy yoki salbiy deb tanlaganimiz sababli, \(y\) va \(z\) uchun tegishli belgilarni tanlash bilan funktsiyani ijobiy yoki salbiy bo'lishga majburlashimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, agar bizda \(x\)da hech qanday cheklov bo'lmasa, biz funktsiyani ijobiy va salbiy ma'noda o'zboshimchalik bilan katta qilishimiz mumkin va shuning uchun bu funktsiya mutlaq ekstremalga ega bo'lmaydi.
Boshqa tomondan, agar bizda mavjud bo'lgan \(x\) cheklovini qo'ysak, endi to'rtga teng bo'lishi kerak bo'lgan uchta musbat atamaning yig'indisiga ega bo'lamiz. Bu o'z navbatida muammodagi uchta o'zgaruvchining quyidagi mumkin bo'lgan eng katta qiymatlariga olib keladi.
\[0 \le x \le 4\hspace{0.5in} - \frac{2}{3} \le y \le \frac{2}{3}\hspace{0.5in} - 2 \le z \le 2\]\(x\) ning eng katta qiymati va \(y\) va \(z\) ning ekstremal qiymatlari qolgan ikkita o‘zgaruvchi nolga teng bo‘lganda yuzaga keladi va umuman, o‘zgaruvchilardan birortasi haqiqatan ham o‘zining mumkin bo‘lgan eng katta qiymatlarini olishini oldindan bilishning imkoni yo‘q. Biroq, biz hozir aytishimiz mumkin bo'lgan narsa shundaki, bizning barcha o'zgaruvchilarimiz o'sha paytda Ekstremal qiymat teoremasi bilan chegaralanganligi sababli, biz bu muammo uchun mutlaq ekstremallar paydo bo'lishini bilamiz.
Shuni ham yodda tutingki, bu erda bizga kerak bo'lgan yagona narsa \(x\) uchun pastki chegaradir. Yuqoridagi tahlilni biroz osonlashtiradigan nolga teng bo'lishi shart emas. Agar xohlasak, \(x \ge - 8\) cheklovidan foydalanishimiz mumkin edi. Ushbu cheklov bilan biz hali ham \(x\), \(y\) va \(z\) uchun chegaralangan diapazonlarga ega bo'lamiz va shuning uchun funktsiya hali ham mutlaq ekstremalga ega bo'ladi.
Bu muammo nima uchun bu qadam ushbu muammolar uchun juda muhimligini ko'rsatadi. Agar bu muammo \(x\)-da cheklovga ega bo'lmasa va biz bu qadamni bajarishga e'tibor bermagan bo'lsak, biz (juda) noto'g'ri javob olgan bo'lardik! Biz hali ham quyidagi jarayondan o'tishimiz mumkin va biz mutlaq ekstremal bo'lib ko'rinadigan qiymatlarni olamiz. Biroq, yuqorida biz \(x\)-da hech qanday cheklovsiz ko'rsatganimizdek, funktsiya mutlaq ekstremallikka ega bo'lmaydi.
Bu erda muammo shundaki, Lagrange multiplikator jarayonining o'zi mutlaq ekstremallarning mavjudligi yoki yo'qligini aniqlash uchun sozlanmagan. Jarayonni boshlashdan oldin, biz jarayondan chiqadigan qiymatlar aslida mutlaq ekstremal bo'lishiga ishonch hosil qilishimiz kerak (i.e. mutlaq ekstremallar mavjudligini tekshirishimiz kerak).
2-qadam
Bu erda birinchi qadam bu muammoni hal qilishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasini yozishdir.
\[\begin{align*}yz & = \lambda \\ xz & = 18y\lambda \\ xy & = 2z\lambda \\ x + 9{y^2} + {z^2} & = 4\end{align*}\]3-qadam
Ushbu tizimlarning aksariyati uchun yechim topish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab echim usullari mavjud. Ba'zilari boshqalarga qaraganda qiyinroq bo'lishi mumkin, ammo afsuski, hal qilish jarayonini boshlamaguningizcha, qaysi biri "oson" va qaysi biri "qiyin" bo'lishini bilishning hech qanday usuli bo'lmaydi.
Bunday tizimlardan qo'rqmang. Ular, ehtimol, sizdan shu paytgacha hal qilishni so'ragan narsalarga o'xshamaydi. Aksariyat tizimlar siz allaqachon bilgan va birinchi qarashda ko'rinadigan darajada "yomon" bo'lmagan texnikalar yordamida hal qilinishi mumkin. Ba'zilari qo'shimcha usullarni talab qiladi va juda tartibsiz bo'lishi mumkin, lekin ko'pincha siz qanday foydalanishni biladigan texnikalarni o'z ichiga oladi, siz ularni tenglamalar sistemasini echish kontekstida hech qachon ko'rmagan bo'lishingiz mumkin.
Ushbu tizim yordamida birinchi tenglamani \(x\) ga ko'paytirish, ikkinchi tenglamani \(y\) ga ko'paytirish va uchinchi tenglamani \(z\) ga ko'paytirishdan boshlaylik. Buni bajarish quyidagi "yangi" tenglamalar sistemasini beradi.
\[\begin{align*}xyz & = x\lambda \\ xyz & = 18{y^2}\lambda \\ xyz & = 2{z^2}\lambda \\ x + 9{y^2} + {z^2} & = 4\end{align*}\]Shuni ham ta'kidlaymizki, agar uchta o'zgaruvchi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lsa, cheklov to'g'ri bo'lmaydi. O'zgaruvchilarning bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin, ammo uchtasi ham nolga teng bo'lishi mumkin emas.
4-qadam
Endi 3-bosqichdagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni tenglashtiramiz. Shunday qilib,
\[x\lambda = 18{y^2}\lambda \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\left( {x - 18{y^2}} \right)\lambda = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 18{y^2}\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\lambda = 0\]3-bosqichdagi ikkinchi va uchinchi tenglamalarni ham tenglashtiramiz. Shunday qilib,
\[18{y^2}\lambda = 2{z^2}\lambda \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\left( {18{y^2} - 2{z^2}} \right)\lambda = 0\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}{z^2} = 9{y^2}\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\,\lambda = 0\]5-qadam
4-bosqichdan boshlab bizda ikkita imkoniyat bor. Yo \(\lambda = 0\) yoki bizda \(x = 18{y^2}\) va \({z^2} = 9{y^2}\) bor.
Keling, birinchi imkoniyat, \(\lambda = 0\) haqida qayg'uraylik. Agar biz dastlabki tizimga qaytsak, bu taxmin bizga quyidagi tizimni beradi.
\[\begin{align*}yz & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = 0\,\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\,z = 0\\ xz & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 0\,\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\,z = 0\\ xy & = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 0\,\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\,y = 0\\ x + 9{y^2} + {z^2} & = 4\end{align*}\]6-qadam
5-bosqichdan boshlab bizda barcha imkoniyatlar mavjud. Birinchi tenglamadan bizda ikkita imkoniyat bor. \(y = 0\) dan boshlaylik. 5-bosqichdagi uchinchi tenglama bizga hech narsa aytmagani uchun (hozir 0 = 0), keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz. Bunday holda biz \(x = 0\) yoki \(z = 0\) olamiz.
Eslatib o'tamiz, uchinchi bosqichning oxirida biz uchta o'zgaruvchining barchasi nolga teng bo'lishi mumkin emasligini payqadik, lekin ulardan ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. Shunday qilib, bu quyidagi ikkita holatga olib keladi, biz uchinchi o'zgaruvchining qiymatini topish uchun cheklovga ulanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}y = 0,x = 0\,\,\,\,\, & :\,\,\,\,\,\,\,{z^2} = 4\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,z = \pm 2\\ y = 0,z = 0\,\,\,\,\, & :\,\,\,\,\,\,\,x = 4\end{align*}\]Shunday qilib, bu bizga quyidagi uchta potentsial mutlaq ekstremani beradi.
\[\left( {0,0, - 2} \right)\hspace{0.25in}\,\left( {0,0,2} \right)\hspace{0.25in}\,\left( {4,0,0} \right)\]Keyinchalik, 5-bosqichdagi birinchi tenglamadan ikkinchi imkoniyatni ko'rib chiqamiz, \(z = 0\). Bu holda ikkinchi tenglama 0 = 0 bo'ladi va shuning uchun hech qanday foyda bo'lmaydi. Uchinchisi esa \(x = 0\) yoki \(y = 0\) imkoniyatlariga ega. Ulardan ikkinchisi yuqorida aytib o'tilgan edi, shuning uchun biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan narsa:
\[z = 0,x = 0\,\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\,\,9{y^2} = 4\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,y = \pm \frac{2}{3}\]Bu yana ikkita potentsial mutlaq ekstremalga olib keladi.
\[\left( {0, - \frac{2}{3},0} \right)\hspace{0.25in}\,\left( {0,\frac{2}{3},0} \right)\] Endi biz orqaga qaytib, ikkinchi yoki uchinchi tenglamadan boshlashimiz mumkin, ammo agar shunday qilsak, siz yuqoridagi imkoniyatlarga ega bo'lasiz (buni o'zingiz tekshirib ko'rishingiz mumkin ...). Shunday qilib, biz ushbu bosqichdan jami beshta mumkin bo'lgan mutlaq ekstremani olamiz. Ular, \[\left( {0,0, \pm 2} \right)\hspace{0.25in}\,\left( {0, \pm \frac{2}{3},0} \right)\hspace{0.25in}\,\left( {4,0,0} \right)\]Biz bu yerda ishlarni biroz soddalashtirish uchun “\( \pm \)” yozuvidan ko‘p foydalandik. Bu shart emas, lekin bu nuqtalar bilan ishlashning qolgan qismini biroz osonlashtiradi, chunki biz oxir-oqibatda ko'ramiz.
7-qadam
Endi, 5-bosqichda bizda yana bir imkoniyat bor edi: \(x = 18{y^2}\) va \({z^2} = 9{y^2}\). Endi biz bu ishni ko'rib chiqishimiz kerak. Bunday holda, biz quyidagilarni olish uchun ularning har birini to'g'ridan-to'g'ri cheklovga ulashimiz mumkin:
\[18{y^2} + 9{y^2} + 9{y^2} = 36{y^2} = 4\hspace{0.25in}\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,y = \pm \frac{1}{3}\]Endi biz ushbu qadamni olish uchun boshlagan ikkita taxminga qaytishimiz mumkin,
\[x = 18\left( {\frac{1}{9}} \right) = 2\hspace{0.5in}{z^2} = 9\left( {\frac{1}{9}} \right) = 1\hspace{0.25in}\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,z = \pm 1\]Endi, ko'p hollarda, biz \(x\), \(y\) va \(z\) ning barcha qiymatlarini nuqtadan boshlab shunchaki "aralashtiramiz va moslashtira olmaymiz". Biroq, bu holatda, biz buni aniq qila olamiz. \(x = 2\) \(x\) farazidagi \({y^2}\) tufayli \(y\) dagi belgidan qat'iy nazar paydo bo'ladi. Xuddi shunday, \(z\) taxminidagi \({y^2}\) tufayli \(z\) ning har biri \(y\) uchun paydo bo'lishi mumkin va shuning uchun biz bu holatda ball uchun \(x\), \(y\) va \(z\) ning barcha kombinatsiyalarini olamiz.
Shunday qilib, biz ushbu bosqichdan quyidagi to'rtta mumkin bo'lgan mutlaq ekstremani olamiz.
\[\left( {2, - \frac{1}{3}, - 1} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\left( {2, - \frac{1}{3},1} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\left( {2,\frac{1}{3}, - 1} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\left( {2,\frac{1}{3},1} \right)\]8-qadam
Umuman olganda, bizda mutlaq ekstremal bo'lishi mumkin bo'lgan to'qqiz ochko borga o'xshaydi. Shunday qilib, mutlaq ekstremalni aniqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu har bir nuqtadagi funktsiyani va to'qqizta nuqta bilan baholashdir, bu juda ko'p ish kabi ko'rinadi.
Biroq, bu holda, bu juda oddiy. Eslatib o'tamiz, biz baholayotgan funktsiya \(f\left( {x,y,z} \right) = xyz\). Birinchidan, bu shuni anglatadiki, agar o'zgaruvchilardan biri nolga teng bo'lsa, butun funktsiya nolga teng bo'ladi. Shuning uchun, 6-bosqichdagi besh ball uchun funktsiyani baholash barcha beradi:
\[f\left( {0,0, \pm 2} \right) = f\left( {0, \pm \frac{2}{3},0} \right) = f\,\left( {4,0,0} \right) = 0\]Bu yerda ham ishni “soddalashtirish” uchun “\( \pm \)” yozuvidan foydalanishga e’tibor bering.
Endi, 7-bosqichdagi potentsial nuqtalar hammasi bir xil qiymatlardir, \(y\) va \(z\) da vaqti-vaqti bilan o'zgarib turadigan belgilar bundan mustasno. Bu shuni anglatadiki, bu erda funktsiya qiymati nuqtadagi minus belgilar soniga qarab \( - \frac{2}{3}\) yoki \(\frac{2}{3}\) bo'ladi. Shunday qilib, ushbu funktsiya qiymatlarini hisoblash uchun ko'p harakat talab etilmaydi. Mana 7-bosqichdagi ballar uchun baholar.
\[f\left( {2, - \frac{1}{3},1} \right) = f\left( {2,\frac{1}{3}, - 1} \right) = - \frac{2}{3}\hspace{0.5in}f\left( {2, - \frac{1}{3}, - 1} \right) = f\left( {2,\frac{1}{3},1} \right) = \frac{2}{3}\]Mutlaq maksimal bu \(\frac{2}{3}\), bu \(\left( {2, - \frac{1}{3}, - 1} \right)\) va \(\left( {2,\frac{1}{3},1} \right)\) da sodir bo'ladi. Mutlaq minimal - \( - \frac{2}{3}\), bu \(\left( {2, - \frac{1}{3},1} \right)\) va \(\left( {2,\frac{1}{3}, - 1} \right)\) da uchraydi. Bir nechta nuqtalarda yuzaga keladigan mutlaq ekstremaldan hayajonlanmang. Ba'zida bu muammolar bilan sodir bo'ladi.
Ushbu muammoni tark etishdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, Lagrange multiplikatorlari bilan yuzaga keladigan tizimlar uchun ba'zi bir yechim jarayonlari ishtirok etishi mumkin. Yechim jarayonining tafsilotlarida yo'qolib ketish va orqaga qaytish va bir yoki bir nechta imkoniyatlar haqida g'amxo'rlik qilishni unutish oson bo'lishi mumkin. Siz har doim juda ehtiyot bo'lishingiz kerak va muammoni tugatishdan oldin orqaga qayting va muammoni hal qilishning barcha mumkin bo'lgan yo'llarini ko'rib chiqqaningizga ishonch hosil qiling.