14.5-bo'lim : Lagrange multiplikatorlari
2. \({x^2} + {y^2} = 1\) cheklovi bo‘yicha \(f\left( {x,y} \right) = 8{x^2} - 2y\) ning maksimal va minimal qiymatlarini toping.
Yechim
Muammoni davom ettirishdan oldin, shuni ta'kidlaymizki, bizning cheklovimiz kvadrat bo'lgan (va shuning uchun ijobiy) ikkita atamaning yig'indisidir \(x\) ning mumkin bo'lgan eng katta diapazoni \( - 1 \le x \le 1\) (agar \(y = 0\) bo'lsa, eng katta qiymatlar paydo bo'ladi). Xuddi shunday, \(y\) ning mumkin bo'lgan eng katta diapazoni \( - 1 \le y \le 1\) (eng katta qiymatlar \(x = 0\) bo'lsa).
Shuni esda tutingki, hozirda \(x\) va/yoki \(y\) mumkin bo'lgan eng katta qiymat bo'ladimi yoki yo'qligini bilmaymiz. Ayni paytda biz ularning nima ekanligini tan olamiz. Bu shuni aytishga imkon beradiki, bizning javoblarimiz qanday bo'lishidan qat'i nazar, ular ushbu cheklangan diapazonlarda sodir bo'lishi kerak va shuning uchun Ekstremal qiymat teoremasi orqali biz bu muammo uchun mutlaq ekstremallar paydo bo'lishini bilamiz.
Ushbu qadam ushbu muammolarda muhim (va ko'pincha e'tibordan chetda qoladigan) qadamdir. Bu har doim mutlaq ekstremallarni topishga harakat qilishdan oldin mavjudligini bilishga yordam beradi!
2-qadam
Yechish jarayonidagi birinchi haqiqiy qadam bu muammoni hal qilishimiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasini yozishdir.
\[\begin{align*}16x & = 2x\lambda \\ - 2 & = 2y\lambda \\ {x^2} + {y^2} & = 1\end{align*}\]3-qadam
Ushbu tizimlarning aksariyati uchun yechim topish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab echim usullari mavjud. Ba'zilari boshqalarga qaraganda qiyinroq bo'lishi mumkin, ammo afsuski, hal qilish jarayonini boshlamaguningizcha, qaysi biri "oson" va qaysi biri "qiyin" bo'lishini bilishning hech qanday usuli bo'lmaydi.
Bunday tizimlardan qo'rqmang. Ular, ehtimol, sizdan shu paytgacha hal qilishni so'ragan narsalarga o'xshamaydi. Aksariyat tizimlar siz allaqachon bilgan va birinchi qarashda ko'rinadigan darajada "yomon" bo'lmagan texnikalar yordamida hal qilinishi mumkin. Ba'zilari qo'shimcha usullarni talab qiladi va juda tartibsiz bo'lishi mumkin, lekin ko'pincha siz qanday foydalanishni biladigan texnikalarni o'z ichiga oladi, siz ularni tenglamalar sistemasini echish kontekstida hech qachon ko'rmagan bo'lishingiz mumkin.
Ushbu tizim uchun birinchi tenglama bizga boshlash uchun ba'zi ma'lumotlarni berishi mumkin, shuning uchun keling, ushbu tenglamadan boshlaylik. Tenglamani tezda qayta yozish bizga quyidagilarni beradi:
\[16x - 2x\lambda = 2x\left( {8 - \lambda } \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = 0\,\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,\,\lambda = 8\]Tenglamani "soddalashtirish" uchun ikkala tomonni ham \(x\) ga bo'lishdan ehtiyot bo'ling. Esingizda bo'lsin, agar siz hech qachon nolga teng bo'lmasligini bilmasangiz, hech narsaga bo'linib bo'lmaydi. Bunday holda biz \(x\) aniq nolga teng bo'lishi mumkinligini ko'rishimiz mumkin va agar siz uni hal qilish jarayonini boshlash uchun ajratsangiz, bu yechimni o'tkazib yuborasiz. Bu ko'pincha talabalarning bunday muammolarni hal qilishda eng katta xatolaridan biridir.
4-qadam
Endi bizda 2-bosqichdan ikkita imkoniyat bor. Yo \(x = 0\) yoki \(\lambda = 8\). Biz ushbu ikkala imkoniyatdan ham o'tib, nimaga erishganimizni ko'rishimiz kerak.
Keling, \(x = 0\) deb faraz qilishdan boshlaylik. Bunday holda biz to'g'ridan-to'g'ri cheklovga o'tishimiz mumkin,
\[{y^2} = 1\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = \pm 1\]Shuning uchun, bu qismdan biz potentsial mutlaq ekstrema bo'lgan ikkita nuqtani olamiz,
\[\left( {0, - 1} \right)\hspace{0.5in}\left( {0,1} \right)\]5-qadam
Keyinchalik, \(\lambda = 8\) deb faraz qilaylik. Bunday holda, biz buni ikkinchi tenglamaga kiritishimiz mumkin,
\[ - 2 = 16y\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = - \frac{1}{8}\]Shunday qilib, ushbu taxmin ostida bizda \(y = - \frac{1}{8}\) bo'lishi kerak. Endi biz buni olish uchun cheklovga ulashimiz mumkin,
\[{x^2} + \frac{1}{{64}} = 1\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{x^2} = \frac{{63}}{{64}}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {\frac{{63}}{{64}}} = \pm \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\]Shunday qilib, bu qism bizga potentsial mutlaq ekstrema bo'lgan yana ikkita nuqta beradi,
\[\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\hspace{0.5in}\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\]6-qadam
Umuman olganda, bizda mutlaq ekstremal bo'lishi mumkin bo'lgan to'rtta nuqta borga o'xshaydi. Shunday qilib, mutlaq ekstremalni aniqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu nuqtalarning har biridagi funktsiyani baholashdir. Mana o'sha funktsiyalarni baholash.
\[f\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{65}}{8}\hspace{0.5in}f\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right) = \frac{{65}}{8}\hspace{0.25in}\,f\left( {0, - 1} \right) = 2\hspace{0.25in}f\left( {0,1} \right) = - 2\]Mutlaq maksimal bu \(\frac{{65}}{8} = 8.125\), bu \(\left( { - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\) va \(\left( {\frac{{3\sqrt 7 }}{8}, - \frac{1}{8}} \right)\) da sodir bo'ladi. Mutlaq minimal -2, bu \(\left( {0,1} \right)\) da sodir bo'ladi. Bir nechta nuqtalarda yuzaga keladigan mutlaq ekstremaldan hayajonlanmang. Ba'zida bu muammolar bilan sodir bo'ladi.