Ushbu qattiq jismning hajmini olish uchun biz \(z\) ning bu ikki sirt kesishgan joyini bilishimiz kerak. Yuqori paraboloid tenglamasini quyidagicha yechish uchun,

\[z = 8 - {x^2} - {y^2}\hspace{0.25in}\,\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} + {y^2} = 8 - z\]

Endi buni ikkinchi paraboloid tenglamasiga kiriting,

\[z = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4 = 3\left( {8 - z} \right) - 4 = 20 - 3z\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}4z = 20 \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} z = 5\]

Shunday qilib, biz ular \(z = 5\) da kesishishini bilamiz. Buni paraboloid tenglamaga ulab, biroz soddalashtirish quyidagi tenglamani beradi.

\[{x^2} + {y^2} = 3\]

Endi bu bizga nima deyapti? Bu ikki paraboloid \(z = 5\) da kesishadigan doiradir. Bu, shuningdek, \(xy\) tekisligidagi \(D\) mintaqasi, biz ushbu muammoni hal qilishda foydalanmoqchi bo'lganimiz \({x^2} + {y^2} \le 3\) tomonidan aniqlangan disk ekanligini ko'rsatadi. Agar bu haqda o'ylab ko'rsangiz, bu mantiqiy bo'ladi. Bu \(xy\) tekisligidagi mintaqa bo'lib, biz chizmalardagi paraboloidlarning har birining grafigini tuzishda foydalanamiz.

Bizda bu qattiq jismning hajmini topish uchun formula yo'q, shuning uchun uning nima ekanligini aniqlay olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik.

Qattiq jismning faqat pastki qismining hajmidan boshlaylik. Boshqacha qilib aytganda, \(z = 5\) tekisligi ostidagi va \(z = 3{x^2} + 3{y^2} - 4\) tomonidan berilgan paraboloiddan yuqori bo'lgan qattiq jismning hajmi qancha.

Biz ushbu bo'lim uchun eslatmalarda shunga o'xshash qattiq narsani ko'rib chiqdik. Ushbu masalada xuddi shu mantiqdan kelib chiqqan holda, qattiq jismning pastki qismining hajmi quyidagicha aniqlanadi:

\[{V_{{\mbox{lower}}}} = \iint\limits_{D}{{5 - \left( {3{x^2} + 3{y^2} - 4} \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{9 - 3{x^2} - 3{y^2}\,dA}}\]

Bu erda \(D\) yuqorida muhokama qilganimizdek \({x^2} + {y^2} \le 3\) diskidir.

E'tibor bering, ushbu paraboloid \(xy\) tekisligi ostida sirpansa ham, formula hali ham amal qiladi.

Qattiq jismning yuqori qismining hajmi, i.e. \(z = 8 - {x^2} - {y^2}\) ostidagi va \(z = 5\) tekisligining ustidagi qismni biz quyi mintaqa uchun ishlatganimizga o'xshash dalil bilan topish mumkin. U holda yuqori mintaqaning hajmi,

\[{V_{{\mbox{upper}}}} = \iint\limits_{D}{{8 - {x^2} - {y^2} - \left( 5 \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{3 - {x^2} - {y^2}\,dA}}\]

Bu erda \(D\) bu yuqorida muhokama qilganimizdek \({x^2} + {y^2} \le 3\) diskidir.

U holda butun qattiq jismning hajmi,

\[\begin{align*}V & = {V_{{\mbox{lower}}}} + {V_{{\mbox{upper}}}}\\ & = \iint\limits_{D}{{9 - 3{x^2} - 3{y^2}\,dA}} + \iint\limits_{D}{{3 - {x^2} - {y^2}\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{9 - 3{x^2} - 3{y^2} + \left( {3 - {x^2} - {y^2}} \right)\,dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{12 - 4{x^2} - 4{y^2}\,dA}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz ikkita integralni birlashtira olamiz, chunki ular ikkalasi ham bir xil \(D\) mintaqasida edi.

Xo'sh, biz allaqachon aniqlaganimizdek, \(D\) \({x^2} + {y^2} \le 3\) tomonidan berilgan disk va bu disk bo'lgani uchun qutb koordinatalarida bu integralni bajarish mantiqiy. Mana bu integral/mintaqa uchun qutb chegaralari.

\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le \sqrt 3 \end{array}\]

Hajm integrali (qutb koordinatalari bo'yicha) u holda,

\[\begin{align*}V & = \iint\limits_{D}{{12 - 4{x^2} - 4{y^2}\,dA}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 }}{{\left( {12 - 4{r^2}} \right)\left( r \right)\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 }}{{12r - 4{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\end{align*}\]

Barcha \(x\) va \(y\)-larni \(r\) va \(\theta \)-larga aylantirishni unutmang va integralni iloji boricha soddalashtirganingizga ishonch hosil qiling. Shuningdek, biz \(dA\)-dan olgan \(r\)-ga qo'shishni unutmang.

Mana \(r\) integratsiyasi.

\[\begin{align*}V &= \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{{\sqrt 3 }}{{12r - 4{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\left( {6{r^2} - {r^4}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 }\,d\theta }} = \int_{0}^{{2\pi }}{{9\,d\theta }}\end{align*}\]

Va nihoyat, bu erda juda oddiy \(\theta \) integratsiyasi.

\[V = \int_{0}^{{2\pi }}{{9\,d\theta }} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{18\pi }}\]

E'tibor bering, bu juda oddiy integratsiya edi, shuning uchun biz hech qanday ishni qilmadik va tafsilotlarni tekshirishni sizga qoldirdik.