15.4-bo'lim : Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar
6. \({x^2} + {y^2} = 16\) tsilindrining ichida, \(z = 2{x^2} + 2{y^2}\) ostida va \(xy\) tekisligi ustida joylashgan qattiq jism hajmini aniqlash uchun ikki karrali integraldan foydalaning.
Yechim
Keling, ushbu muammoni biz ushbu muammoda ko'rib chiqayotgan qattiq jismning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.
Qattiq jismning yuqori qismi paraboloiddir (eskizlardagi oltin rangli sirt). Qattiq jismning devorlari tsilindr \({x^2} + {y^2} = 16\) bo'lib, eskizda yarim shaffof sirt bilan ko'rsatilgan. Qattiq jismning pastki qismi \(xy\)-tekisligidir.
2-qadam
Shunday qilib, \(xy\) tekisligida paraboloid ostidagi va \(D\) mintaqasi ustidagi qattiq jismning hajmi quyidagicha ifodalanadi:
\[V = \iint\limits_{D}{{2{x^2} + 2{y^2}\,dA}}\]3-qadam
\(D\) hududi \(xy\) tekisligidan olingan hudud bo'lib, biz ostidagi hajmni topayotgan sirtni chizish uchun foydalanamiz.i.e. paraboloid).
Bu holda \(D\) ni aniqlash juda oddiy, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz. Qattiq jism paraboloidning \({x^2} + {y^2} = 16\) tsilindridagi qismi bilan belgilanadi. Ammo bu biz sirtning grafigini chizish uchun foydalanadigan \(xy\) tekisligining qismini aniq belgilaydi. Biz faqat \(xy\) tekisligining tsilindr ichidagi nuqtalaridan foydalanamiz va shuning uchun \(D\) mintaqasi faqat \({x^2} + {y^2} \le 16\) tomonidan belgilangan diskdir.
Bu holat uchun \(D\) ni aniqlashning yana bir usuli bu qattiq jismga uning ustidagi qarashdir. Siz ko'rgan 2D hudud \(D\) hududi bo'ladi. Bunday holda, biz ko'rib turgan hudud silindrning ichki qismi yoki \({x^2} + {y^2} \le 16\) diskidir.
Endi \(D\) hududi diskdir va shuning uchun bu muammo uchun qutbli koordinatalardan foydalanishimizni tavsiya qiladi. \(D\) mintaqasi uchun qutb chegaralari:
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 4\end{array}\]4-qadam
Mayli, keling, qutb koordinatalari bo'yicha integralni oshiramiz.
\[V = \iint\limits_{D}{{2{x^2} + 2{y^2}\,dA}} = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{\,\,\,\left( {2{r^2}} \right)\left( r \right)\,dr}}\,d\theta }} = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{\,\,\,2{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\]Barcha \(x\) va \(y\)-larni \(r\) va \(\theta \)-larga aylantirishni unutmang va integrandni iloji boricha soddalashtirganingizga ishonch hosil qiling. Shuningdek, biz \(dA\)-dan olgan \(r\)-ga qo'shishni unutmang.
5-qadam
Mana oddiy \(r\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}V & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{\,\,\,2{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\frac{1}{2}{r^4}} \right|_0^4\,d\theta }} = \int_{0}^{{2\pi }}{{128\,d\theta }}\end{align*}\]6-qadam
Va nihoyat, bu erda juda oddiy \(\theta \) integratsiyasi.
\[V = \int_{0}^{{2\pi }}{{128\,d\theta }} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{256\pi }}\]E'tibor bering, bu juda oddiy integratsiya edi, shuning uchun biz hech qanday ishni qilmadik va tafsilotlarni tekshirishni sizga qoldirdik.