15.4-bo'lim : Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar
5. Quyidagi integralni avval qutb koordinatalarida integralga aylantirib baholang.
\[\int_{0}^{3}{{\int_{{ - \sqrt {9 - {x^{\,2}}} }}^{0}{{\,\,\,{{\bf{e}}^{{x^{\,2}} + {y^{\,2}}}}\,dy}}\,dx}}\]Yechim
Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, biz integratsiyalashgan mintaqani his qilishdir. Shunday qilib, bu integralning \(x\) va \(y\) chegaralari.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le 3\\ - \sqrt {9 - {x^2}} \le y \le 0\end{array}\]Endi, pastki \(y\) chegarasi bizga mintaqaning "pastki" egri chizig'i tomonidan berilganligini aytadi:
\[y = - \sqrt {9 - {x^2}} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} + {y^2} = 9\]Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, agar biz ikkala tomonni kvadratga aylantirsak va biroz qayta yozsak, bu boshlang'ich markazida joylashgan 3 radiusli doiraning bir qismi ekanligini ko'rishimiz mumkin. Aslida, bu aylananing pastki qismidir (ildiz oldidagi "-" tufayli).
Yuqori \(y\) chegarasi bizga mintaqa \(x\) o'qidan yuqoriga chiqmasligini bildiradi va shuning uchun \(y\) chegaralaridan biz mintaqaning boshlang'ich markazida joylashgan 3 radiusli doiraning ko'pi bilan pastki yarmi ekanligini ko'rishimiz mumkin.
\(x\) chegaralaridan biz \(x\) hech qachon manfiy bo'lmasligini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz endi mintaqada aylananing chap qismining biron bir qismini o'z ichiga olmaydi. Yuqori \(x\) chegarasi bizga \(x\) 3 ga qadar chiqishi mumkinligini aytadi.
Shunday qilib, \(x\) va \(y\) chegaralaridan biz integrallashayotgan mintaqa aslida 3 radiusli aylananing koordinata markazida joylashgan qismi, ya'ni 4 da joylashganligini ko'rishimiz mumkin.th kvadrant. To'liqlik uchun bu erda tezkor eskiz.
2-qadam
Endi bizning integralimiz uchun qutb chegaralari kerak bo'ladi va ularni yuqoridagi eskizdan aniqlash juda oson bo'lishi kerak. Mana ular.
\[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{3}{2}\pi \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 3\end{array}\]3-qadam
OK, endi biz chegarani qutb koordinatalarini o'z ichiga olgan integralga aylantira olamiz. Buni amalga oshirish uchun faqat Dekart va qutb koordinatalari o'rtasidagi turli munosabatlarni eslang va ulardan har qanday \(x\) va/yoki \(y\) ni \(r\) va/yoki \(\theta \) ga aylantirish uchun foydalaning.
Shuni ham unutmangki, "dy dx” integralda asl ikki karrali integralda bo‘lishi mumkin bo‘lgan \(dA\) dan kelib chiqqan (bu yozilmagan, lekin biz bilamizki, agar xohlasak bo‘lishi mumkin). Shuningdek, biz \(dA = r\,dr\,d\theta \) va shunga o'xshash bu integral uchun bizda \(dy\,dx = r\,dr\,d\theta \) qanday bo'lishini bilamiz.
U holda integral,
\[\int_{0}^{3}{{\int_{{ - \sqrt {9 - {x^{\,2}}} }}^{0}{{\,\,\,{{\bf{e}}^{{x^{\,2}} + {y^{\,2}}}}\,dy}}\,dx}} = \int_{{\frac{3}{2}\pi }}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{3}{{\,\,\,r{{\bf{e}}^{{r^{\,2}}}}\,dr}}\,d\theta }}\]Shuni esda tutingki, biz \(dA\)-dan olgan qo'shimcha \(r\) aslida bu integral qilish uchun kerak! Integrallarni Dekartdan qutb koordinatalariga o'tkazishda \(dA\) ni to'g'ri konvertatsiya qilishni unutmaslik kerak.
4-qadam
Mana \(r\) integratsiyasi. Natijalarni tekshirish uchun uni sizga qoldiramiz.
\[\begin{align*}\int_{0}^{3}{{\int_{{ - \sqrt {9 - {x^{\,2}}} }}^{0}{{\,\,\,{{\bf{e}}^{{x^{\,2}} + {y^{\,2}}}}\,dy}}\,dx}} & = \int_{{\frac{3}{2}\pi }}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{3}{{\,\,\,r{{\bf{e}}^{{r^{\,2}}}}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\frac{3}{2}\pi }}^{{2\pi }}{{\left. {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{{r^{\,2}}}}} \right|_0^3\,d\theta }}\\ & = \int_{{\frac{3}{2}\pi }}^{{2\pi }}{{\frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^9} - 1} \right)\,d\theta }}\end{align*}\]5-qadam
Va nihoyat, bu erda juda oddiy \(\theta \) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\int_{0}^{3}{{\int_{{ - \sqrt {9 - {x^{\,2}}} }}^{0}{{\,\,\,{{\bf{e}}^{{x^{\,2}} + {y^{\,2}}}}\,dy}}\,dx}} & = \int_{{\frac{3}{2}\pi }}^{{2\pi }}{{\frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^9} - 1} \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^9} - 1} \right)\theta } \right|_{\frac{3}{2}\pi }^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{4}\pi \left( {{{\bf{e}}^9} - 1} \right) = 6363.3618}}\end{align*}\]