15.4-bo'lim : Qutb koordinatalarida ikki karrali integrallar
2. \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} \,dA}}\) ni baholang, bu erda \(D\) \({x^2} + {y^2} = 16\) ning pastki yarmidir.
Yechim
Quyida \(D\) hududining qisqacha eskizi keltirilgan.
Qutb koordinatalari qo'llaniladigan ikki karrali integrallar uchun \(D\) eskizi ko'pincha umumiy mintaqadagi kabi foydali emas.
Ammo, agar boshqa hech narsa bo'lmasa, bu muammoni hal qilish uchun qutb koordinatalari kerakligini aniq ko'rsatib beradi. Bu hududni dekart koordinatalari bo'yicha tavsiflash mumkin, lekin chegaralardan biri ko'pincha (har doim emas, lekin tez-tez) tartibsiz integral ishlarga olib keladigan ildizlarni o'z ichiga oladi.
Eskiz shuni ko'rsatadiki, mintaqa hech bo'lmaganda qisman dumaloq va bu har doim qutb koordinatalari hech bo'lmaganda o'ylash uchun yomon narsa emasligini ko'rsatishi kerak. Bunday holda, yuqorida muhokama qilingan Dekart chegaralari tufayli qutb koordinatalari bu integralni bajarishning deyarli yagona oson usuli hisoblanadi. Shuni ham yodda tutingki, bu integral Dekart koordinatalari nuqtai nazaridan yoqimsiz bo'ladi. Umid qilamizki, qutbli shaklni qilish osonroq bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, bizda qutb chegaralarini aniqlaydigan eskiz juda oddiy bo'lishi kerak.
2-qadam
Mayli, \(D\) diskning faqat bir qismi, shuning uchun limitlarni o'rnatish juda qiyin bo'lmasligi kerak. Mana ular,
\[\begin{array}{c}\pi \le \theta \le 2\pi \\ \,0 \le r \le 4\end{array}\]3-qadam
U holda qutb koordinatalari bo'yicha integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} \,dA}} & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{\left( {\sqrt {1 + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} } \right)\,r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{r\sqrt {1 + 4{r^2}} \,dr}}\,d\theta }}\end{align*}\]Integralni aylantirishda \(x\) va \(y\) ni qutb koordinatalariga aylantirishni unutmang. Bunday holda faqat qutbli konvertatsiya formulalarini \(x\) va \(y\) bilan almashtirmang! Eslatib o'tamiz, \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) va integral bilan ishlash ancha oson bo'ladi.
Bundan tashqari, \(dA = r\,dr\,d\theta \) ni unutmang va shuning uchun biz integranda qo'shimcha \(r\) ni olamiz. Qo'shimcha \(r\)-ni unutish bu kabi muammolarning eng keng tarqalgan xatolaridan biridir va bu holda qo'shimcha \(r\)siz bizda juda yoqimsiz integral bo'ladi.
4-qadam
Mana \(r\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} \,dA}} & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\int_{0}^{4}{{r\sqrt {1 + 4{r^2}} \,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\left. {\left( {\frac{1}{{12}}{{\left( {1 + 4{r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^4\,d\theta }}\\ & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\frac{1}{{12}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\,d\theta }}\end{align*}\]5-qadam
Va nihoyat, \(\theta \) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} \,dA}} & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\frac{1}{{12}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\theta } \right)} \right|_\pi ^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{12}}\pi \left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right) = 136.9333}}\end{align*}\]E'tibor bering, bu juda oddiy integral bo'lsa-da, siz qutbli integrallarda juda ko'p \({\cos ^2}\theta \), \({\sin ^2}\theta \) va \(\sin \theta \cos \theta \) atamalarini ko'rasiz, shuning uchun bu atamalarni qanday integrallashni bilganingizga ishonch hosil qiling!