15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar
6. \( \displaystyle \iint\limits_{D}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dA}}\) ni baholang, bu erda \(D\) \(x = - {y^{\frac{1}{3}}}\), \(x = 3\) va \(x\) o'qi bilan chegaralangan mintaqadir.
Yechim
Quyida \(D\) hududining qisqacha eskizi keltirilgan.
E'tibor bering, biz keyingi bosqichda yordam berish uchun chap egri chiziq uchun tenglamaning ikkala shaklini ham berdik.
Umuman olganda, bu eskiz ko'pincha integralni to'g'ri o'rnatish uchun muhimdir. Biz integratsiya tartibini aniqlashimiz kerak va ko'pincha mintaqa ma'lum bir tartibni "majburlaydi". Ko'pgina hududlarni integratsiyaning ma'lum bir tartibini bajarish orqali osonlik bilan hal qilish mumkin va ba'zan buni haqiqatan ham ko'rishning yagona yo'li - \(D\) eskiziga ega bo'lishdir.
Agar siz integralni ikkala tartibda ham bajarishingiz mumkin bo'lsa ham, \(D\) eskizi ko'pincha integrallar uchun chegaralarni o'rnatishda yordam beradi.
2-qadam
Endi, bu muammo bilan, mintaqa integratsiyadagi qiyinchilikni real o'zgartirmasdan, integratsiya tartibini amalga oshirishga imkon beradi.
Shunday qilib, biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan har bir integratsiya tartibi uchun limitlar mavjud.
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{c}0 \le x \le 3\\ - {x^3} \le y \le 0\end{array}&{\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}}&\begin{array}{c} - 27 \le y \le 0\\ - {y^{\frac{1}{3}}} \le x \le 3\end{array}\end{array}\]3-qadam
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, har ikkala buyurtma ham qiyinchilikda haqiqiy o'zgarishsiz bajarilishi mumkin. Biroq, agar biz avval \(y\) bilan integratsiyalashgan bo'lsak, chegaralar biroz qulayroq ko'rinadi. \(y\) chegaralaridan biri nolga teng va \(x\) chegaralari kichikroq, shuning uchun buni hal qilish biroz osonroq bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, ushbu muammoni hal qilish uchun avval \(y\) ga integratsiya qilaylik. Bu erda birinchi navbatda \(y\) integratsiyasi uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{D}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dA}} = \int_{0}^{3}{{\int_{{ - {x^3}}}^{0}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dy}}\,dx}}\]4-qadam
Mana \(y\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dA}} & = \int_{0}^{3}{{\int_{{ - {x^3}}}^{0}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{3}{{\left. {\left( {\frac{{\frac{3}{2}{y^{\frac{2}{3}}}}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}}} \right)} \right|_{ - {x^3}}^0\,dx}}\\ & = \int_{0}^{3}{{ - \frac{{\frac{3}{2}{{\left( { - {x^3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,\,dx}} = \int_{0}^{3}{{ - \frac{{\frac{3}{2}{x^2}}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,\,dx}}\end{align*}\]Ushbu integratsiyadagi minus belgilaridan ehtiyot bo'ling. Integrand oldidagi minus belgisi baholash jarayonidan kelib chiqadi (eslang, biz birinchi navbatda nolga baho beramiz!). Numeratordagi minus belgisi ko'rsatkich bilan ishlaganimizda o'chiriladi (ko'rsatkichning numeratori ikkitadir, shuning uchun biz narsalarni kvadratga solishimiz kerak!).
5-qadam
Endi \(x\) integratsiyasi oddiy Calculus I almashtirishdir. Tasdiqlash uchun almashtirish ishini sizga qoldiramiz. Mana \(x\) integratsiyasi.
\[\iint\limits_{D}{{\frac{1}{{{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,dA}} = \int_{0}^{3}{{ - \frac{{\frac{3}{2}{x^2}}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}}\,\,dx}} = \left. {\left( { - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^3} + 1} \right)} \right)} \right|_0^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{1}{2}\ln \left( {28} \right) = - 1.6661}}\]\(\ln \left( 1 \right) = 0\) ekanligini unutmang!