15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar
5. \( \displaystyle \iint\limits_{D}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dA}}\) ni baholang, bu erda \(D\) \(y = 2\), \(\displaystyle y = \frac{1}{4}{x^2}\) va \(y\) o'qi bilan chegaralangan mintaqadir.
Yechim
Quyida \(D\) hududining qisqacha eskizi keltirilgan.
E'tibor bering, biz keyingi bosqichda yordam berish uchun pastki egri chiziq uchun tenglamaning ikkala shaklini ham berdik.
Umuman olganda, bu eskiz ko'pincha integralni to'g'ri o'rnatish uchun muhimdir. Biz integratsiya tartibini aniqlashimiz kerak va ko'pincha mintaqa ma'lum bir tartibni "majburlaydi". Ko'pgina hududlarni integratsiyaning ma'lum bir tartibini bajarish orqali osonlik bilan hal qilish mumkin va ba'zida buni haqiqatan ham ko'rishning yagona yo'li \(D\) eskiziga ega bo'lishdir.
Agar siz integralni ikkala tartibda ham bajarishingiz mumkin bo'lsa ham, \(D\) eskizi ko'pincha integrallar uchun chegaralarni o'rnatishda yordam beradi.
2-qadam
Ushbu muammo bilan mintaqani integratsiyaning har qanday tartibida hal qilish mumkin. Boshqa tomondan integral qila olmaydi. Biz avval \(y\) ni birlashtira olmaymiz, chunki kosinus oldida \({y^2}\) yo‘q, biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak. Shunday qilib, bizda avval \(x\) integratsiyasini amalga oshirishdan boshqa ilojimiz yo'q.
Shunday qilib, bu integral uchun chegaralar mavjud.
\[\begin{array}{c}0 \le y \le 2\\ 0 \le x \le 2\sqrt y \end{array}\]3-qadam
Bu erda birinchi navbatda \(x\) integratsiyasi uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{D}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dA}} = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{{2\sqrt y }}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dx}}\,dy}}\]4-qadam
Mana \(x\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dA}} & = \int_{0}^{2}{{\int_{0}^{{2\sqrt y }}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\left. {\left( {\frac{5}{4}{x^4}\cos \left( {{y^3}} \right)} \right)} \right|_0^{2\sqrt y }\,dy}}\\ & = \int_{0}^{2}{{20{y^2}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dy}}\end{align*}\]5-qadam
E'tibor bering, biz avval \(y\) integratsiyasini amalga oshira olmagan bo'lsak ham, hozir buni qila olamiz. O'zgartirish uchun bizga kerak bo'lgan \({y^2}\) hozir \(x\) integratsiyasidan so'ng mavjud.
Mana \(y\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{5{x^3}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dA}} & = \int_{0}^{2}{{20{y^2}\cos \left( {{y^3}} \right)\,dy}}\\ & = \left. {\left( {\frac{{20}}{3}\sin \left( {{y^3}} \right)} \right)} \right|_0^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{20}}{3}\sin \left( 8 \right) = 6.5957}}\end{align*}\]O'nli kasrlarni hisoblashda kalkulyatorni radianga o'rnatishni unutmang.