15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar
4. \( \displaystyle \iint\limits_{D}{{x\left( {y - 1} \right)\,dA}}\) ni baholang, bu erda \(D\) \(y = 1 - {x^2}\) va \(y = {x^2} - 3\) bilan chegaralangan mintaqadir.
Yechim
Quyida \(D\) hududining qisqacha eskizi keltirilgan.
Umuman olganda, bu eskiz ko'pincha integralni to'g'ri o'rnatish uchun muhimdir. Biz integratsiya tartibini aniqlashimiz kerak va ko'pincha mintaqa ma'lum bir tartibni "majburlaydi". Ko'pgina hududlarni integratsiyaning ma'lum bir tartibini bajarish orqali osonlik bilan hal qilish mumkin va ba'zida buni haqiqatan ham ko'rishning yagona yo'li \(D\) eskiziga ega bo'lishdir.
Agar siz integralni ikkala tartibda ham bajarishingiz mumkin bo'lsa ham, \(D\) eskizi ko'pincha integrallar uchun chegaralarni o'rnatishda yordam beradi.
2-qadam
Ushbu muammo bilan mintaqa haqiqatan ham birinchi navbatda \(y\) ni birlashtirish uchun o'rnatiladi. Avval \(x\) ni integratsiya qilish uchun ikkita integral kerak bo'ladi (o'ng/chap funksiyalar o'zgaradi) va \(x\)-ning chegaralari bilan shug'ullanish biroz chalkash bo'ladi.
Shunday qilib, bu integral uchun chegaralar mavjud.
\[\begin{array}{c} - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \\ {x^2} - 3 \le y \le 1 - {x^2}\end{array}\]\(x\) chegaralarini ikkita tenglamani teng o'rnatish va \(x\) uchun yechish orqali osongina topish mumkin.
3-qadam
Bu erda birinchi navbatda \(y\) integratsiyasi uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{D}{{x\left( {y - 1} \right)\,dA}} = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\int_{{{x^2} - 3}}^{{1 - {x^2}}}{{x\left( {y - 1} \right)\,dy}}\,dx}}\]4-qadam
Mana \(y\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{x\left( {y - 1} \right)\,dA}} & = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\int_{{{x^2} - 3}}^{{1 - {x^2}}}{{x\left( {y - 1} \right)\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\left. {\left( {x\left( {\frac{1}{2}{y^2} - y} \right)} \right)} \right|_{{x^2} - 3}^{1 - {x^2}}\,dx}}\\ & = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\frac{1}{2}x{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} - \frac{1}{2}x{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} - x\left( {1 - {x^2}} \right) + x\left( {{x^2} - 3} \right)\,dx}}\end{align*}\]5-qadam
Ushbu muammo bilan bizda integralni soddalashtirish bilan shug'ullanishda ikkita variant mavjud. 3rd va 4th shartlarini soddalashtirish kerak bo‘ladi. 1st va 2nd Biroq, shartlarni soddalashtirish mumkin va ularni soddalashtirish unchalik qiyin emas yoki biz ularning har biri uchun juda tez Calculus I o'rnini bosishimiz mumkin.
Agar siz hamma narsani ko'paytirsangiz, quyidagi integralni olasiz.
\[\iint\limits_{D}{{x\left( {y - 1} \right)\,dA}} = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{4{x^3} - 8x\,dx}} = \left. {\left( {{x^4} - 4{x^2}} \right)} \right|_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{0}\]Ushbu integrand bilan juda ko'p bekor qilinmoqda. Biroq, birinchi qarashda bekor qilish shunchalik ko'p bo'lishi aniq emas va bekor qilish uchun zarur bo'lgan ko'paytirish - bu minus belgisini o'tkazib yuborish va noto'g'ri integratsiyani, keyin esa noto'g'ri javobni olish oson.
Shunday qilib, farqni ko'rish uchun almashtirish yo'lini ham qilaylik. Shunday qilib,
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{x\left( {y - 1} \right)\,dA}} & = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\frac{1}{2}x{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} - \frac{1}{2}x{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 2{x^3} - 4x\,dx}}\\ & = \left. {\left( { - \frac{1}{{12}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3} - \frac{1}{{12}}{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^3} + \frac{1}{2}{x^4} - 2{x^2}} \right)} \right|_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{0}\end{align*}\]Shunday qilib, bir xil javob juda ajablanarli bo'lmasligi kerak, lekin biroz chalkashroq integratsiya va baholash jarayoni. Qaysi yo'lni tanlaganingiz va qaysi yo'lni o'zingiz uchun qulayroq deb hisoblaysiz, ehtimol bu odamga bog'liq. Ko'rsatilganidek, siz bir xil javob olasiz, shuning uchun bu haqda tashvishlanishingiz shart emas.