Endi biz ushbu qattiq jismning hajmini beradigan integralni aniqlashimiz kerak. Ushbu bo'limda biz faqat \(xy\) tekisligida sirt ostida va \(D\) mintaqasi ustida joylashgan qattiq jismni topish haqida gaplashdik.

Bu qattiq modda \(xy\) tekisligi ostida ham mavjud. Bu qattiq uchun, ammo, bu bilan shug'ullanish oson vaziyat. Eslatib o'tamiz, qattiq jism \({x^2} + {y^2} = 4\) silindrining bir qismi bo'lib, \({x^2} + {z^2} = 4\) silindrining ichida joylashgan bo'lib, uning markazi \(z\) o'qida joylashgan. Bu shuni anglatadiki, qattiq jismning \(xy\) tekisligidan pastda joylashgan qismi oddiy jismning \(xy\) tekisligi ustidagi qismining oyna tasviridir. Boshqacha qilib aytganda, \(xy\) tekisligidan pastda joylashgan qattiq jismning hajmi \(xy\) tekisligidan yuqorida joylashgan qattiq jismning qismining hajmi bilan bir xil.

Biz \(xy\)-tekisligi ustidagi qattiq jismning hajmini osongina topish uchun ushbu bo'limdagi g'oyalardan foydalanishimiz mumkin va keyin to'liq jismning hajmi bundan ikki baravar ko'p bo'ladi.

Shunday qilib, endi biz hajm uchun integralni o'rnatishimiz kerak. Birinchidan, biz \(z\) uchun \({x^2} + {z^2} = 4\)ni hal qilishimiz mumkin,

\[z = \pm \sqrt {4 - {x^2}} \]

Buning ijobiy qismi \(y\) o'qi markazida joylashgan silindrning yuqori yarmi uchun tenglama va salbiy qismi bu silindrning pastki yarmi uchun tenglamadir.

Bu shuni anglatadiki, qattiq jismning yuqori yarmi hajmining integrali,

\[V = \iint\limits_{D}{{\sqrt {4 - {x^2}} \,dA}}\]

U holda butun qattiq jismning hajmi,

\[V = 2\iint\limits_{D}{{\sqrt {4 - {x^2}} \,dA}}\]

Endi biz \(D\) mintaqasi nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Biz bilamizki, umuman olganda, \(D\) bu holda biz ishlayotgan sirt grafigini olish uchun foydalanadigan \(xy\) tekisligining mintaqasi, \(z = \sqrt {4 - {x^2}} \).

Ammo bu muammoning sababi nima? Qattiq jismga to'g'ridan-to'g'ri yuqoridan qarang. Siz ko'rgan narsa quyidagicha:

Moviy doira \(z\) o'qi markazida joylashgan \({x^2} + {y^2} = 4\) silindridir. Biz qattiq jismga to'g'ridan-to'g'ri yuqoridan qaraganimiz sababli, biz silindrning devorlarini ko'ramiz, bu, albatta, \({x^2} + {y^2} = 4\) tenglamali doiradir. Buning qizil qismi \({x^2} + {y^2} = 4\) ichida joylashgan \({x^2} + {z^2} = 4\) silindrining devorlari.

Bu biz \(D\)ni aniqlashimiz kerak bo'lgan narsadir. Yana bir bor eslatib o'tamiz, \(D\) - bu biz qattiq jismni aniqlaydigan sirtning yuqori qismini grafik qilish uchun foydalanadigan \(xy\) tekisligidagi mintaqadir. Ammo yuqoridagi grafigimizdan ko'ramizki, sirtning yuqori qismi boshning markazida joylashgan 2 radiusli doira kabi ko'rinadi. Bu aynan \(D\) ekanligini anglatadi. \(D\) - bu mintaqaga yuqoridan qaraganimizda ko'radigan shakl va shuning uchun \(D\) yuqoridagi grafikda ko'rsatilgan doiradir.

Keling, integralimiz uchun chegaralarni olamiz. \(D\) mintaqasining o'zi integratsiya tartibiga ta'sir qilmaydi va har bir chegara to'plami deyarli bir xil. Yagona haqiqiy farq \(x\) va \(y\) almashtiriladi.

Bu erda integratsiyaning har bir tartibi uchun chegaralar mavjud.

\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{c} - 2 \le x \le 2\\ - \sqrt {4 - {x^2}} \le y \le \sqrt {4 - {x^2}} \end{array}&{\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}}&\begin{array}{c}- 2 \le y \le 2\\ - \sqrt {4 - {y^2}} \le x \le \sqrt {4 - {y^2}} \end{array}\end{array}\]

Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek, chegaralarda unchalik katta farq yo'q. Biroq, orqaga qayting va biz hisoblashimiz kerak bo'lgan integralni tekshiring. Agar biz \(x\) ni birlashtirsak, avval trigni almashtirishni amalga oshirishimiz kerakligini ko'ramiz. Shunday qilib, avval \(y\) ni birlashtiramiz.

To'liq jismning hajmi uchun integrali shunday bo'ladi:

\[V = 2\iint\limits_{D}{{\sqrt {4 - {x^2}} \,dA}} = 2\int_{{ - 2}}^{2}{{\int_{{ - \sqrt {4 - {x^2}} }}^{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} \,dy}}\,dx}}\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Mana \(y\) integratsiyasi.

\[\begin{align*}V & = 2\iint\limits_{D}{{\sqrt {4 - {x^2}} \,dA}} = 2\int_{{ - 2}}^{2}{{\left. {\left( {y\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right|_{ - \sqrt {4 - {x^2}} }^{\sqrt {4 - {x^2}} }\,dx}}\\ & = 2\int_{{ - 2}}^{2}{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} - \left( { - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right)\sqrt {4 - {x^2}} \,dx}}\\ & = 2\int_{{ - 2}}^{2}{{2\sqrt {4 - {x^2}} \sqrt {4 - {x^2}} \,dx}}\\ & = 2\int_{{ - 2}}^{2}{{2\left( {4 - {x^2}} \right)\,dx}} = 4\int_{{ - 2}}^{2}{{4 - {x^2}\,dx}}\end{align*}\]

Biz soddalashtirishni aniq qilish uchun mutlaqo zarur bo'lgan ishga yana bir necha qadam qo'ydik.

Va nihoyat, \(x\) integratsiyasi va shuning uchun to'liq qattiq jismning hajmi,

\[V = 4\int_{{ - 2}}^{2}{{4 - {x^2}\,dx}}\left. { = 4\left( {4x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{128}}{3}}}\]

Shunday qilib, biz ko'rib turganimizdek, muammoning integratsiya qismi hayratlanarli darajada sodda edi. Bu erda eng katta muammo bu muammoni o'rnatishdir.

Bu muammo ko'plab talabalar ushbu muammolarning ba'zilari bilan bog'liq eng katta muammolardan birini ko'rsatadi. Siz haqiqatan ham ko'rib chiqilayotgan qattiq jismlarni/mintaqalarni tasavvur qila olishingiz kerak. Yoki hech bo'lmaganda qattiq/mintaqa grafigini olish qobiliyatiga ega bo'ling. Afsuski, bu har doim ham tezda o'rgatiladigan narsa emas. Ko'p odamlar tabiiy ravishda bunday narsalarni tasavvur qila oladiganga o'xshaydi, lekin ko'pchilik ularni osongina tasavvur qila olmaydi. Agar siz ikkinchi guruhda bo'lsangiz, afsuski, bu muammolarning ba'zilarini biroz qiyinlashtiradi, lekin agar sabr qilsangiz, bu narsalarni engib o'tasiz va umid qilamanki, vaqti-vaqti bilan kerak bo'ladigan vizualizatsiyani amalga oshirishni boshlaysiz.