DIGeneralRegion - 14-masala yechimi | MathModel.uz

15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar

14. $z = 6 - 5{x^2}$ va $y = 2x$, $y = 2$, $x = 0$ tekisliklari va $xy$ tekisliklari bilan chegaralangan mintaqa hajmini aniqlash uchun ikki karrali integraldan foydalaning.

Yechim

Keling, avval biz ishlayotgan qattiq jismning eskizini olamiz. Agar siz ushbu turdagi qattiq jismlarni boshingizda tasavvur qilishda yaxshi bo'lmasangiz, bu grafiklar integral o'rnatishga yordam berishda bebaho bo'lishi mumkin.

$A three dimensional sketch of the solid drawn with the traditional axes. The orange surface on the top is $z = 6 - 5{x^2}$, the blue plane on the right is $y = 2$, the red plane on the left is $y = 2x$, and the solid is closed off by the plane $x = 0$ and the xy-plane underneath.$

$A three dimensional sketch of the same solid, this time drawn with a “box frame” set of axes to make the surfaces easier to see. The orange top surface is $z = 6 - 5{x^2}$, the blue plane is $y = 2$ and the red plane is $y = 2x$.$

Sirt an'anaviy o'qlar to'plami va shuningdek, "quti ramkasi" o'qlari to'plami bilan chizilgan. Ba'zan ikkala eskiz ham mavjud bo'lganda, sirt bilan nima sodir bo'layotganini ko'rish osonroq bo'ladi.

Yuqori sirt (to'q sariq sirt) $z = 6 - 5{x^2}$ grafigidir. Moviy tekislik $y = 2$ grafigi bo'lib, u $y = 2$ da $xz$ tekisligiga parallel bo'lgan tekislikdan boshqa narsa emas. Qizil tekislik $y = 2x$ grafigi va bu oddiygina $xy$ tekisligiga perpendikulyar bo'lgan va $xy$ tekisligidagi $y = 2x$ chizig'idan o'tadigan tekislikdir. $x = 0$ tomonidan berilgan sirt oddiygina $yz$ tekisligi (i.e qattiq orqa) va ko'rsatilmagan va $xy$-tekisligi sirtning pastki qismidir va yana eskizda ko'rsatilmagan.

2-qadam

Ushbu bo'limda biz qattiq jismning hajmini aniqlashning yagona usuli bu sirt ostidagi hajmni topishdir. Bu holda, biz $z = 6 - 5{x^2}$ ostidagi va $D$ mintaqasidan yuqorida joylashgan sirtni $xy$ tekisligida boshqa uchta tekislik kesishgan joy bilan aniqlangan holda qidirayotganimiz aniq. Boshqacha qilib aytganda, $D$ mintaqasi $xy$ tekisligida $y = 2$, $y = 2x$ va $x = 0$ bilan chegaralangan regoindir.

Keyin hajm uchun integrali,

\[V = \iint\limits_{D}{{6 - 5{x^2}\,dA}}\]

Bu erda $D$ quyida chizilgan.

$A sketch of the region $D$. It is the triangle bounded above by the line $y = 2$, below by the line $y = 2x$ and on the left by the y-axis, so it has vertices at the origin, $\left( {0,2} \right)$ and $\left( {1,2} \right)$. The inside is shaded green.$

3-qadam

Ushbu integral har qanday tartibda integrallanishi mumkin, shuning uchun chegaralardagi kasrlarni oldini olish uchun avval $y$ ga nisbatan integrallashamiz (agar biz avval $x$ ga nisbatan integrasiya qilsak, biz bittaga erishamiz). Mana bizning integralimiz uchun chegaralar.

\[\begin{array}{c}0 \le x \le 1\\ 2x \le y \le 2\end{array}\]

Keyin hajm uchun integrali,

\[V = \iint\limits_{D}{{6 - 5{x^2}\,dA}} = \int_{0}^{1}{{\int_{{2x}}^{2}{{6 - 5{x^2}\,dy}}\,dx}}\]

4-qadam

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Mana $y$ integratsiyasi.

\[V = \int_{0}^{1}{{\left( {6 - 5{x^2}} \right)\left. y \right|_{2x}^2\,dx}} = \int_{0}^{1}{{\left( {6 - 5{x^2}} \right)\left( {2 - 2x} \right)\,dx}} = \int_{0}^{1}{{10{x^3} - 10{x^2} - 12x + 12\,dx}}\]

E'tibor bering, $y$ integratsiyasini amalga oshirishda biz butun integranda $y$ ni o'z ichiga olmaydi va shuning uchun doimiy deb hisoblanishi mumkin va shuning uchun faqat $y$ ga ko'paytirilishini tan oldik. Biz har bir muddatni alohida bajarishimiz ham mumkin edi, lekin ba'zida bu erda qilgan ishimizni qilish xuddi shunday oson yoki hatto osonroq. Albatta, biz keyingi bosqich uchun integrandni ko'paytirishimiz kerak edi, lekin bu juda yomon emas edi.

5-qadam

Va nihoyat, $x$ integratsiyasi va shuning uchun hajm,

\[V\left. { = \left( {\frac{5}{2}{x^4} - \frac{{10}}{3}{x^3} - 6{x^2} + 12x} \right)} \right|_0^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{31}}{6}}}\]