15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar
12. \(y = 1 - {x^2}\) va \(y = {x^2} - 3\) bilan chegaralangan mintaqa maydonini aniqlash uchun ikki karrali integraldan foydalaning.
Yechim
Yaxshi, biz bilamizki, har qanday \(D\) mintaqasining maydonini quyidagi ikki karrali integralni baholash orqali topish mumkin.
\[A = \iint\limits_{D}{{dA}}\]Ushbu muammo uchun \(D\) quyida chizilgan mintaqadir.
2-qadam
Biz shu paytgacha yetarlicha ikki karrali integrallarni bajardik, ya’ni integratsiyaning eng yaxshi tartibi avval \(y\) ga nisbatan integrallash ekani ma’lum bo‘lishi kerak.
Mana bu tartib bilan integral uchun chegaralar.
\[\begin{array}{c} - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \\ {x^2} - 3 \le y \le 1 - {x^2}\end{array}\]\(x\) chegaralarini ikkita tenglamani teng o'rnatish va \(x\) uchun yechish orqali osongina topish mumkin.
3-qadam
U holda maydon uchun integrali,
\[A = \iint\limits_{D}{{dA}} = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\int_{{{x^2} - 3}}^{{1 - {x^2}}}{{\,dy}}\,dx}}\]4-qadam
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash. Mana \(y\) integratsiyasi.
\[A = \iint\limits_{D}{{dA}} = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{\left. y \right|_{{x^3} - 3}^{1 - {x^2}}\,dx}} = \int_{{ - \sqrt 2 }}^{{\sqrt 2 }}{{4 - 2{x^2}\,dx}}\]5-qadam
Va nihoyat, \(x\) integratsiyasi va shuning uchun \(D\) maydoni,
\[A = \left. {\left( {4x - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{16\sqrt 2 }}{3}}}\]