15.3-bo'lim : Umumiy hududlar bo'yicha ikki karrali integrallar
1. \( \displaystyle \iint\limits_{D}{{42{y^2} - 12x\,dA}}\) ni baholang, bu erda \(D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|0 \le x \le 4,{{\left( {x - 2} \right)}^2} \le y \le 6} \right\}\)
Yechim
Quyida \(D\) hududining qisqacha eskizi keltirilgan.
Umuman olganda, bu eskiz ko'pincha integralni to'g'ri o'rnatish uchun muhimdir. Biz integratsiya tartibini aniqlashimiz kerak va ko'pincha mintaqa ma'lum bir tartibni "majburlaydi". Ko'pgina hududlarni integratsiyaning ma'lum bir tartibini bajarish orqali osonlik bilan hal qilish mumkin va ba'zida buni haqiqatan ham ko'rishning yagona yo'li - \(D\) eskiziga ega bo'lishdir.
Agar siz integralni ikkala tartibda ham bajarishingiz mumkin bo'lsa ham, \(D\) eskizi ko'pincha integrallar uchun chegaralarni o'rnatishda yordam beradi.
2-qadam
Ushbu muammo bilan bizga \(D\) mintaqasi muammo bayonotida qanday ko'rsatilganligi bo'yicha integratsiya tartibi berilgan edi. Shuni yodda tutingki, eskiz bu integratsiyaning yagona oson tartibi ekanligini ko'rsatadi. Xuddi shu funktsiya har doim mintaqaning tepasida va bir xil funktsiya har doim mintaqaning pastki qismida joylashgan va shuning uchun birinchi navbatda \(y\) ni birlashtirish mantiqan.
Agar biz \(x\) ni birlashtirmoqchi bo'lsak, avvalo bizda murakkabroq integratsiya bo'lar edi. Avval o'ng/chap funksiyalar o'zgaradi va shuning uchun biz \(x\) integratsiyasini bitta integral bilan amalga oshira olmadik. Bu holda \(x\) integratsiyasi ikkita integralni talab qiladi. Mintaqaning pastki qismi ham o'ng, ham chap tomon uchun bir xil funktsiyaga ega ekanligi ham bor. Tenglamani \(x\) uchun echish mumkin edi, chunki biz avval \(x\) integratsiyasini amalga oshirishimiz kerak va ko'pincha bu juda qiyin yoki yoqimsiz chegaralar beradi. Bu holda bu unchalik qiyin bo'lmaydi, lekin u chegaralarga ildiz otadi va bu ko'pincha tartibsizlikka olib keladi integratsiya.
Shunday qilib, keling, muammo bayonotida ko'rsatilgan integratsiya tartibiga o'taylik va bizga \(D\) to'plami quruvchi belgisida berilganligi sababli, bizga \(x\) va \(y\) uchun ham limitlar berildi, bu yaxshi, chunki biz ularni o'zimiz aniqlashimiz kerak bo'ladi.
Bu erda birinchi navbatda \(y\) integratsiyasi uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{D}{{42{y^2} - 12x\,dA}} = \int_{0}^{4}{{\int_{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}^{6}{{42{y^2} - 12x\,dy}}\,dx}}\]3-qadam
Mana \(y\) integratsiyasi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{42{y^2} - 12x\,dA}} & = \int_{0}^{4}{{\int_{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}^{6}{{42{y^2} - 12x\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{\left. {\left( {14{y^3} - 12xy} \right)} \right|_{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}^6\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{3024 - 72x - 14{{\left( {x - 2} \right)}^6} + 12x{{\left( {x - 2} \right)}^2}\,dx}}\end{align*}\]4-qadam
Endi biz oxirgi bosqichda integrandni real soddalashtirishni amalga oshirmadik. Buning sababi bor edi.
Birinchi integratsiyani amalga oshirgandan so'ng, talabalar ko'pincha "soddalashtirish" rejimiga o'tadilar va hamma narsani ko'paytiradilar va hamma narsani "soddalashtiradilar". Ba'zan buni qilish kerak bo'ladi va biz bu hech qachon yaxshi narsa emas yoki hech qachon qilish kerak emas degan taassurot qoldirmoqchi emasmiz.
Biroq, yuqoridagi uchinchi muddatga e'tibor bering. Agar biz xohlasak, uni ko'paytirish mumkin edi, lekin bu biroz vaqt talab etadi va biz biron bir joyda belgi yoki koeffitsientni buzishimiz mumkin. Biz integratsiya qilmoqchimiz va uchinchi atama oddiy Hisob I almashtirish bilan juda tez birlashtirilishi mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, nima uchun bu atama bilan tartibsiz ko'paytirish bilan shug'ullanish kerak bo'lsa, buni qilish kerak emas.
To'rtinchi atama esa atamaning oldingi qismidagi qo'shimcha \(x\) tufayli ko'paytirilishi kerak.
Shunday qilib, "soddalashtirish" rejimiga o'tishdan oldin, integralni tezda ko'rib chiqing va oddiy almashtirish bilan bajarilishi mumkin bo'lgan atamalar bor-yo'qligini bilib oling, chunki biz bu shartlar bilan aralashishimiz shart emas. Faqat haqiqatda ko'paytirilishi kerak bo'lgan atamalarni ko'paytiring.
Mana \(x\) integratsiya ishi. Tasdiqlash uchun Algebra tafsilotlarini sizga qoldiramiz va tekshirish uchun Hisob I almashtirish ishini ham sizga qoldiramiz.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{42{y^2} - 12x\,dA}} & = \int_{0}^{4}{{3024 - 72x - 14{{\left( {x - 2} \right)}^6} + 12x{{\left( {x - 2} \right)}^2}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{3024 - 24x - 48{x^2} + 12{x^3} - 14{{\left( {x - 2} \right)}^6}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {3024x - 12{x^2} - 16{x^3} + 3{x^4} - 2{{\left( {x - 2} \right)}^7}} \right)} \right|_0^4 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{11136}}\end{align*}\]Ushbu muammoni hal qilishdan oldin, uchinchi atama bilan ishlash qanchalik oson bo'lganini yana bir bor ta'kidlaymiz, chunki biz uni ko'paytirmadik va shunchaki almashtirishni ishlatdik. Bu muammoni ancha osonlashtirdi.
Shuni ham yodda tutingki, bu muammo ushbu integrallarning ko'pchiligi bilan amalga oshirilishi kerak bo'lgan muhim fikrni ko'rsatdi. Ushbu integrallar ko'pincha birinchi integratsiyadan keyin juda tartibsiz bo'ladi. Siz bunga tayyor bo'lishingiz va vaqti-vaqti bilan sodir bo'lishini kutishingiz kerak. Ular "oson" ko'rinishni boshlaganlari, ular butun muammo davomida oson bo'lib qolishlarini anglatmaydi. Bu tartibsizlikka aylangani xato qilganingizni anglatmaydi, garchi bu, afsuski, har doim tartibsiz integral uchun mumkin bo'lgan sababdir. Bu shunchaki bu integrallardan biri, ular tugashidan oldin biroz chalkash bo'lishini anglatishi mumkin.