11.2-bo'lim : Vektor arifmetikasi
7. Xususiyatni isbotlang: \(\vec v + \vec w = \vec w + \vec v\).
Yechim
Bu turdagi dalillar birinchi marta duch kelganda talabalarga sirli ko'rinadi. Bu sirning asosiy sababi, ehtimol, bu haqiqat ekanligi aniq ko'rinadi. Buni isbotlash qiyin.
Bu xususiyat raqamlar uchun to'g'ri ekanligini bilamiz. Biroq, biz raqamlar uchun to'g'ri bo'lgani uchun, bu holda boshqa barcha turdagi ob'ektlar, vektorlar uchun ham to'g'ri bo'ladi deb taxmin qila olmaymiz!
Shunday qilib, keling, ikkita umumiy vektordan boshlaylik.
\[\vec v = \left\langle {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\rangle \hspace{0.75in}\vec w = \left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots {w_n}} \right\rangle \]Ushbu turdagi isbotni amalga oshirish uchun chap tomondan boshlashimiz kerak bo'lgan narsa ko'rsatilgan amalni bajarish, bu holda qo'shish va keyin biz haqiqat deb bilgan raqamlarning xususiyatlaridan foydalanib, uni o'ng tomonga o'xshatish uchun harakat qilib ko'ring.
2-qadam
Shunday qilib, chap tomonda vektor qo'shilishi bilan boshlaylik. Biz bu erda qilmoqchi bo'lgan yagona narsa - ikkita vektor yig'indisini yozish uchun vektor qo'shish ta'rifidan foydalanish. Bu,
\[\vec v + \vec w = \left\langle {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\rangle + \left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots {w_n}} \right\rangle = \left\langle {{v_1} + {w_1},{v_2} + {w_2}, \ldots ,{v_n} + {w_n}} \right\rangle \]3-qadam
OK, yuqorida aytib o'tganimizdek, biz \(2 + 3 = 3 + 2\) ekanligini bilamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz raqamlarni qo'shish tartibi muhim emasligini bilamiz.
Nega buni yana ko'taring?
E'tibor bering, o'ng tarafdagi "yangi" vektorning har bir komponenti ikkita raqamning yig'indisidir. Shuning uchun biz ushbu xususiyatdan har bir komponentdagi qo'shimchalar tartibini o'zgartirish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shunday qilib,
\[\vec v + \vec w = \left\langle {{v_1} + {w_1},{v_2} + {w_2}, \ldots ,{v_n} + {w_n}} \right\rangle = \left\langle {{w_1} + {v_1},{w_2} + {v_2}, \ldots ,{w_n} + {v_n}} \right\rangle \]4-qadam
Endi eslaylikki, vektor arifmetikasining ta'rifiga ko'ra o'ngdagi vektorning har bir komponentidagi yig'indidagi birinchi raqam birinchi vektorning komponenti, yig'indidagi ikkinchi raqam esa ikkinchi vektorning komponentidir.
Shunday qilib, biz hozir qilishimiz kerak bo'lgan narsa, olish huquqidagi vektorni bergan summani "bekor qilish".
\[\vec v + \vec w = \left\langle {{w_1} + {v_1},{w_2} + {v_2}, \ldots ,{w_n} + {v_n}} \right\rangle = \vec w + \vec v\]Aynan shu narsani isbotlashimiz so'ralgan va biz bajardik!