11.2-bo'lim : Vektor arifmetikasi
3. \(\vec q = \vec i + 3\vec j + 9\vec k\) bilan bir xil yo‘nalishga ishora qiluvchi birlik vektorni toping.
Yechim
Albatta, bu erda birinchi qadam haqiqatan ham birlik vektoriga ega bo'lish baxtimiz borligini tekshirish va tekshirish bo'lishi kerak. Bizda birlik vektori bo'lishi dargumon, lekin siz tekshirmaguningizcha hech qachon bilmaysiz!
\[\left\| {\vec q} \right\| = \sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( 9 \right)}^2}} = \sqrt {91} \]Yaxshi, biz allaqachon taxmin qilganimizdek, bu birlik vektor emas (uning kattaligi bitta emas!), lekin biz javobni topishda yordam berishimiz mumkin.
2-qadam
Eslatib o'tamiz, har qanday vektorni birlik vektorga aylantirish uchun faqat vektorni uning kattaligiga bo'lish kerak. Bu vektor uchun buni qilish,
\[\vec u = \frac{{\vec q}}{{\left\| {\vec q} \right\|}} = \frac{1}{{\sqrt {91} }}\left( {\vec i + 3\vec j + 9\vec k} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{\sqrt {91} }}\vec i + \frac{3}{{\sqrt {91} }}\vec j + \frac{9}{{\sqrt {91} }}\vec k}}\]Tez tekshirish sifatida, albatta, talab qilinmaydi, biz haqiqatan ham birlik vektorimiz borligini tekshirish uchun tezkor kattalikni hisoblashimiz mumkin.
\[\left\| {\vec u} \right\| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {91} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt {91} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{9}{{\sqrt {91} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{91}}{{91}}} = 1\]Shunday qilib, bizda birlik vektor bor!