Uzunlikni topish uchun bizga quyidagi ikkita hosila kerak bo'ladi,

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dt}} = \cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right)\]

Ushbu muammo uchun \(ds\), keyin,

\[ds = \sqrt {{{\left[ {\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)\sin \left( {\frac{1}{4}t} \right)} \right]}^2}} \,dt = \sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right){{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \,dt\]

Endi ko'plab talabalar ushbu muammo bilan bog'liq muammolarga duch kelishadi. Ko'pgina talabalar egri chiziq uzunligini aniqlash uchun quyidagi integraldan foydalanadilar.

\[\int_{{ - 52\pi }}^{{34\pi }}{{\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right){{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \,dt}}\]

Ushbu integralda nima noto'g'ri ekanligini ko'rasizmi?

Ushbu bo'limdagi muhokamadan shuni esda tutingki, yoy uzunligi formulasidan foydalanish uchun egri chiziq integral chegaralari oralig'ida faqat bir marta aniqlanishi mumkin.

Shuning uchun, biz egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida aynan bir marta chiqishini aniqlamagunimizcha, avvalgi bosqichda qilgan formulamizni yozib bo'lmaydi.

Agar egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida bir necha marta kuzatilishi aniqlansa, biz oldingi bosqichda yozgan integral shunchaki noto'g'ri. Keyin biz uzunlik uchun mos integralni yozishimiz uchun bir iz uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak bo'ladi.

Yaxshiyamki, biz buni amaliyot muammosida qildik Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar bo'limi. Ushbu parametrik tenglamalar to'plamini o'rganish ushbu bo'limdagi №8 muammo edi. Ushbu muammoni hal qilishdan biz ushbu muammo uchun zarur bo'lgan bir nechta ma'lumotlarni topdik.

Birinchidan, biz egri chiziq muammo uchun berilgan \(t\) diapazonida bir necha marta kuzatilishini aniqladik. Aslida, biz egri chiziq \(t\) ning berilgan diapazonida 21,5 marta kuzatilganligini aniqladik.

Ikkinchidan, va bundan ham muhimi, biz egri chiziq \( - 2\pi \le t \le 2\pi \) diapazonida aynan bir marta kuzatilishini aniqladik. E'tibor bering, biz bir iz uchun \(t\) ning bir nechta mumkin bo'lgan diapazonlarini sanab o'tdik va ulardan istalganidan foydalanishimiz mumkin. Bu shunchaki topilgan birinchi narsa va shuning uchun biz ushbu muammo uchun foydalanishga qaror qildik.

Shunday qilib, biz oldingi bosqichda yozgan integral haqiqatda to'g'ri emasligini va egri chiziq uzunligini bermasligini ko'rishimiz mumkin.

Oldingi masalada topilgan \(t\) diapazonidan foydalanib, biz uzunlik uchun integral ekanligini ko'rishimiz mumkin,

\[L = \int_{{ - 2\pi }}^{{2\pi }}{{\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right){{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \,dt}}\]

Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, biz bu holatda uzunlik uchun to'g'ri integralni yozish uchun qo'limizda ma'lumotga ega bo'lishimiz kerak. Aksariyat hollarda bunday bo'lmaydi va siz orqaga qaytib, Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar bo'limida qilgan tahlilning qisqartirilgan versiyasini qilishingiz kerak bo'ladi. Bizga barcha ma'lumotlar kerak emas, lekin tegishli ma'lumotni olish uchun biz tahlilning ko'p qismini o'tkazishimiz kerak.

Agar sizga tahlilni qanday qilish kerakligi haqida ma'lumot kerak bo'lsa, siz o'sha bo'limga qaytib, bir nechta amaliy muammolarni hal qilishingiz kerak.

Mayli, keling, integralni baholash ustida ishlaylik. Bir qarashda, bu juda yoqimsiz integralga o'xshaydi (va bu juda oson integral emasligini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi), lekin agar ehtiyot bo'lsak, bu birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas.

Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, biz biroz soddalashtirishimiz mumkin:

\[L = \int_{{ - 2\pi }}^{{2\pi }}{{\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)\left( {1 + {{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \right)} \,dt}} = \int_{{ - 2\pi }}^{{2\pi }}{{\left| {\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)} \right|\sqrt {1 + {{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \,dt}}\]

Har doimgidek, mutlaq qiymat chiziqlari bilan juda ehtiyot bo'ling! Biz integral uchun foydalangan \(t\) diapazoniga qarab, ularni shunchaki tashlab bo'lmaydi. Shunday qilib, keling, keyingi narsa - ular bilan qanday kurashish kerakligini aniqlash.

Biz bilamizki, ushbu integral uchun biz \(t\) ning quyidagi diapazonidan foydalanganmiz.

\[ - 2\pi \le t \le 2\pi \]

Endi eʼtibor bering, integralimizdagi trig funksiyalar argumentida shunchaki \(t\) mavjud emas. Aslida bizda \(\frac{1}{4}t\) mavjud. Shunday qilib, biz \(t\) \( - 2\pi \le t \le 2\pi \) oralig'ida bo'lgani uchun biz \(\frac{1}{4}t\) uchun quyidagi diapazonni olamiz (yuqoridagi tengsizlikni 4 ga bo'ling!),

\[ - \frac{\pi }{2} \le \frac{1}{4}t \le \frac{\pi }{2}\]

Biz trig bilimimizdan bilamizki, \(\frac{1}{4}t\) bu diapazonda qolar ekan, u bizning integralimiz uchun, keyin \(\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right) \ge 0\) va shuning uchun biz integraldagi kosinusdan mutlaq qiymatlarni olib tashlashimiz mumkin.

Ogohlantirishning yakuniy so'zi sifatida shuni yodda tutingki, \(t\) ning boshqa diapazonlari uchun biz \(t\) diapazonida manfiy kosinusga ega bo'lishimiz mumkin edi va shuning uchun biz mutlaq qiymat satrini tushirganimizda integralga minus belgisini qo'shishimiz kerak edi. Buni qilishimiz kerakmi yoki yo'qmi, biz bitta iz uchun tanlagan \(t\) diapazoniga bog'liq bo'ladi va shuning uchun bu turdagi integrallar uchun tezkor tahlil qilish kerak bo'ladi.

OK, bu nuqtada egri chiziq uzunligi uchun integrali endi,

\[L = \int_{{ - 2\pi }}^{{2\pi }}{{\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)\sqrt {1 + {{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \,dt}}\]

Bu hali ham yoqimsiz integral bo'lib ko'rinadi. Biroq, bu holda biz uni nisbatan oson integralga aylantirish uchun quyidagi oddiy almashtirishdan foydalanishimiz mumkinligini unutmang.

\[u = \sin \left( {\frac{1}{4}t} \right)\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{\sin ^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right) = {u^2}\hspace{0.25in}du = \frac{1}{4}\cos \left( {\frac{1}{4}t} \right)\,dt\] \[t = - 2\pi :\hspace{0.25in}u = \sin \left( { - \frac{1}{2}\pi } \right) = - 1\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}t = 2\pi :\hspace{0.25in}u = \sin \left( {\frac{1}{2}\pi } \right) = 1\]

Ushbu almashtirishda egri chiziq uzunligining integrali quyidagicha bo'ladi:

\[L = \int_{{ - 1}}^{1}{{4\sqrt {1 + {u^2}} \,du}}\]

Endi, bu nuqtada bizda juda oddiy trigni almashtirish mavjudligini ko'rishimiz mumkin, biz egri chiziq uzunligini topish uchun baholashimiz kerak. Ushbu integral uchun bizga kerak bo'ladigan trigni almashtirish:

\[u = \tan \theta \hspace{0.25in} du = {\sec ^2}\theta \,d\theta \,\hspace{0.5in}\sqrt {1 + {u^2}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } = \sqrt {{{\sec }^2}\theta } = \left| {\sec \theta } \right|\]

Sekantdagi mutlaq qiymatdan xalos bo'lish uchun chegaralarni \(\theta \) chegaralariga aylantirish kerak bo'ladi.

\[\begin{align*}u & = - 1: & \hspace{0.25in} - 1 & = \tan \theta \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\tan \theta = - 1\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\theta = - \frac{\pi }{4}\\ u & = 1: & \hspace{0.25in}1 & = \tan \theta \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\tan \theta = 1\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}\theta = \frac{\pi }{4}\end{align*}\]

Xo'sh, bu muammo uchun \(\theta \) ning mos diapazoni \( - \frac{\pi }{4} \le \theta \le \frac{\pi }{4}\) (birinchi va to'rtinchi kvadrant) va bu diapazonda sekant ijobiy ekanligini bilamiz. Shunday qilib, ildiz bo'ladi,

\[\sqrt {1 + {u^2}} = \sec \theta \]

Keyin egri chiziq uzunligi,

\[\begin{align*}L & = \int_{{ - 2\pi }}^{{2\pi }}{{\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)\left( {1 + {{\sin }^2}\left( {\frac{1}{4}t} \right)} \right)} \,dt}} = \int_{{ - 1}}^{1}{{4\sqrt {1 + {u^2}} \,du}}\\ & = \int_{{ - \,\,\frac{\pi }{4}}}^{{\frac{\pi }{4}}}{{4{{\sec }^3}\theta \,d\theta }} = 2\left. {\left[ {\sec \theta \tan \theta + ln\left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|} \right]} \right|_{ - \,\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{9.1824}}\end{align*}\]

OK, bu egri chiziq uzunligini olish uchun juda oz ish bo'ldi. Endi eslashimiz kerakki, bizdan zarracha bosib o'tgan umumiy masofani ham olish so'ralgan. Egri chiziq uzunligiga ega bo'lganimiz uchun buni olish juda oson.

Bosib o'tgan umumiy masofani olish uchun biz eslashimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, biz yuqorida 3-bosqichda 8-muammoda aniqlaganimizni ta'kidlagan edik. Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar egri chiziq 21,5 marta chiqadigan qism. Biz egri chiziqning bitta izini uzunligini ham bilganimiz uchun zarracha bosib o'tgan umumiy masofa shunday bo'lishi kerakligini bilamiz,

\[{\mbox{Total Distance Traveled}} = \left( {9.1824} \right)\left( {21.5} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{197.4216}}\]