2.6-bo'lim : Cheksiz limitlar
1. \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{9}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}}\) baholash uchun,
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, - }}} f\left( x \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, + }}} f\left( x \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\)
a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, - }}} f\left( x \right)\) Yechim
Keling, \(x \to {3^ - }\) uchun biz \(x < 3\)ni bilishimizni tan olishdan boshlaylik.
Surat uchun biz chegarada faqat 9 bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Maxraj biroz ko'proq ish talab qiladi. Shubhasiz, chegarada bizda,
\[x - 3 \to 0\]lekin biz aslida biroz uzoqroqqa borishimiz mumkin. Biz \(x < 3\) ekanligini bilganimiz uchun biz buni ham bilamiz,
\[x - 3 < 0\]Keyinchalik ixchamroq qilib aytishimiz mumkinki, biz chegarada bo'lamiz,
\[x - 3 \to {0^ - }\]Buni beshinchi darajaga ko'tarish bu xatti-harakatni o'zgartirmaydi va shuning uchun chegarada maxraj bo'ladi:
\[{\left( {x - 3} \right)^5} \to {0^ - }\]Endi biz funktsiya chegarasini bajarishimiz mumkin. Chegarada surat sobit musbat doimiy, maxraj esa tobora kichikroq manfiy sondir. Limitda bo'linuvchi katta manfiy son bo'lishi kerak yoki,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, - }}} \frac{9}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} = - \infty }}\]E'tibor bering, bu \(x = 3\) da vertikal asimptota mavjudligini ham anglatadi.
b \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, + }}} f\left( x \right)\) Yechim
Keling, \(x \to {3^ + }\) uchun biz \(x > 3\)ni bilishimizni tan olishdan boshlaylik.
Birinchi qismda bo'lgani kabi, surat, chegarada u faqat 9 bo'ladi.
Maxraj ham birinchi qismga o'xshab ishlaydi. Bizda chegarada,
\[x - 3 \to 0\]va biz \(x > 3\) ekanligini bilganimiz uchun biz buni ham bilamiz,
\[x - 3 > 0\]Keyinchalik ixchamroq qilib aytishimiz mumkinki, biz chegarada bo'lamiz,
\[x - 3 \to {0^ + }\]Buni beshinchi darajaga ko'tarish bu xatti-harakatni o'zgartirmaydi va shuning uchun chegarada maxraj bo'ladi:
\[{\left( {x - 3} \right)^5} \to {0^ + }\]Endi biz funktsiya chegarasini bajarishimiz mumkin. Chegarada surat sobit musbat doimiy, maxraj esa tobora kichikroq musbat sondir. Limitda bo'linuvchi katta musbat son bo'lishi kerak yoki,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, + }}} \frac{9}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} = \infty }}\]E'tibor bering, bu \(x = 3\) da vertikal asimptota mavjudligini anglatadi, biz buni birinchi qismdan allaqachon bildik.
c \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) Yechim
Bu holda biz dastlabki ikki qismdan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, - }}} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^{\, + }}} f\left( x \right)\]Shunday qilib, bizning asosiy chegara xususiyatlaridan biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) ekanligini ko'rishimiz mumkin mavjud emas.
To'liqlik va ushbu muammoning javoblarini tekshirish uchun bu erda funktsiyaning qisqacha eskizi keltirilgan.
