2.10-bo'lim : Limitning ta'rifi
6. Quyidagi chegarani isbotlash uchun chegara ta’rifidan foydalaning.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \]Yechim
Birinchidan, nima ko'rsatishimiz kerakligini yozamiz.
\(N < 0\) istalgan raqam bo'lsin. Esda tutingki, bizning chegaramiz manfiy cheksizlikka boradi, chunki bu erda \(N\) manfiy bo'lishi kerak. Endi biz \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak, shunda
\[\frac{1}{x} < N\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in} - \delta < x - 0 < 0\]2-qadam
Keling, yuqoridagi birinchi tengsizlikka biroz qaytadan yozaylik,
\[\frac{1}{x} < N\hspace{0.25in}\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,x > \frac{1}{N}\]Endi, \(N\) salbiy ekanligini va shuning uchun \({\textstyle{1 \over N}}\) ham salbiy ekanligini yodda tuting. Bundan biz \(\delta = - \frac{1}{N}\) ni tanlashimiz mumkin. Shunga qaramay, \(N\) salbiy bo'lgani uchun bu \(\delta \)ni ijobiy qiladi, bu bizga kerak!
3-qadam
Shunday qilib, keling, bu ish yoki yo'qligini bilib olaylik.
Biz \(N < 0\) istalgan raqam deb faraz qilishdan boshlaymiz va \(\delta = - \frac{1}{N}\) ni tanlaymiz. Endi biz taxmin qilishimiz mumkin,
\[ - \delta < x - 0 < 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\frac{1}{N} < x < 0\]Shunday qilib, agar biz ikkinchi tengsizlikdan boshlasak,
\[\begin{align*}x & > \frac{1}{N} & & \\ & \frac{1}{x} < N & & \hspace{0.25in}{\mbox{ rewriting things a little bit}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik,
\[\frac{1}{x} < N\hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}\frac{1}{N} < x < 0\]va shuning uchun chegaraning ta'rifi bilan biz buni isbotladik,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \]