2.10-bo'lim : Limitning ta'rifi
1. Quyidagi chegarani isbotlash uchun chegara ta’rifidan foydalaning.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x = 3\]Yechim
Birinchidan, nima ko'rsatishimiz kerakligini yozamiz.
\(\varepsilon > 0\) istalgan raqam bo'lsin. Biz \(\delta > 0\) raqamini topishimiz kerak, shunda
\[\left| {x - 3} \right| < \varepsilon \hspace{0.5in}{\mbox{whenever}}\hspace{0.5in}0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \]Bu muammo biroz qiyin ko'rinishi mumkin, chunki ikkala tengsizlik ham \(\left| {x - 3} \right|\) ni o'z ichiga oladi. Shuni yodda tutingki, birinchisi haqiqatan ham \(\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \), bu erda \(f\left( x \right) = x\) va \(L = 3\), ikkinchisi esa haqiqatan ham \(0 < \left| {x - a} \right| < \delta \), bu erda \(a = 3\).
2-qadam
Bunday holda, 1-bosqichda isbotlashimiz kerak bo'lgan bayonotning "ayyorligi" ga qaramay, bu haqiqatan ham juda oddiy muammo.
Biz \(\delta \) ni aniqlashimiz kerak, bu bizga 1-qadamdagi bayonotni isbotlash imkonini beradi. Biroq, ikkala tengsizlik ham aynan bir xil mutlaq qiymat bayonotini o'z ichiga oladi, shuning uchun biz faqat \(\delta = \varepsilon \)ni tanlashimiz kerak.
3-qadam
Shunday qilib, keling, bu ish yoki yo'qligini bilib olaylik.
Avval \(\varepsilon > 0\) istalgan raqam deb faraz qilib boshlang va \(\delta = \varepsilon \) ni tanlang. Endi biz buni taxmin qilishimiz mumkin
\[0 < \left| {x - 3} \right| < \delta = \varepsilon \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}0 < \left| {x - 3} \right| < \varepsilon \]Biroq, agar biz ikki tomonlama tengsizlikning o'ng qismiga qarasak, bu taxmin bizga shuni aytadiki,
\[\left| {x - 3} \right| < \varepsilon \]Bu biz ko'rsatishimiz kerak bo'lgan narsa bizning \(\delta \) ni tanlashimiz kerak.
Shuning uchun, chegara ta'rifiga ko'ra, biz hozirgina isbotladik,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x = 3\]