4-bob: Hosilalarni qo'llash
Bu yerda Calculus I eslatmalarining Hosilalarni qo'llash bo'limi uchun topshiriq masalalari to'plami. Shuni esda tutingki, bu muammolarni hal qilishning iloji yo'q. Bular asosan o'qituvchilar uchun mo'ljallangan bo'lib, ular bir qator muammolarni hal qilish uchun topshirilishi mumkin. Yechimlar (yoki hatto yakuniy javoblar) mavjud bo'lsa, muammolarning maqsadini yo'q qiladi.
O'zgarish stavkalari – Ushbu bo'lim uchun hali yozilmagan Vazifa topshiriqlari.
Kritik nuqtalar - Ushbu bo'limda biz tanqidiy nuqtalarning ta'rifini beramiz. Muhim nuqtalar ushbu bobning aksariyat bo'limlarida namoyon bo'ladi, shuning uchun ularni tushunish va ularni qanday topish muhim bo'ladi. Biz ularni turli xil funktsiyalar uchun qanday topish mumkinligini ko'rsatadigan bir qancha misollar bilan ishlaymiz.
Minimal va maksimal qiymatlar – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini aniqlaymiz. Ushbu bobdagi ko'plab ilovalar uchun minimal/maksimal (birgalikda ekstrema deb ataladi) qiymatlarining ikki turi o'rtasidagi farqni tushunish muhim va shuning uchun biz bu borada yordam berish uchun turli misollardan foydalanamiz. Shuningdek, biz Ekstremal qiymat teoremasini va Ferma teoremasini beramiz, ularning ikkalasi ham ushbu bobda ko'rib chiqiladigan ko'plab ilovalarda juda muhimdir.
Mutlaq ekstremalni topish – Ushbu bo'limda biz funktsiyaning mutlaq (yoki global) minimal va maksimal qiymatlarini qanday topishni muhokama qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz funktsiyaga ega bo'lgan eng katta va eng kichik qiymatlarni topamiz.
Grafik shakli, I qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning birinchi hosilasi bizga funktsiya grafigi haqida nimani aytishi mumkinligini muhokama qilamiz. Birinchi hosila bizga funktsiyaning nisbiy (yoki mahalliy) minimal va maksimal qiymatlarini va funktsiya qayerda ortib, kamayib borishini aniqlash imkonini beradi. Shuningdek, biz kritik nuqtalarni nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar yoki minimal yoki maksimal deb tasniflash imkonini beradigan Birinchi hosila testini beramiz.
Grafik shakli, II qism - Ushbu bo'limda biz funktsiyaning ikkinchi hosilasi funksiya grafigi haqida nimani ayta olishini muhokama qilamiz. Ikkinchi hosila funksiya grafigi qayerda yuqoriga va pastga botiq ekanligini aniqlash imkonini beradi. Ikkinchi hosila, shuningdek, funktsiyaga ega bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday burilish nuqtalarini (ya'ni, konkavlik o'zgarishini) aniqlashga imkon beradi. Shuningdek, biz ikkinchi hosilaviy testni beramiz, u ba'zi muhim nuqtalarni (ammo hammasini emas) nisbiy minimumlar yoki nisbiy maksimallar sifatida aniqlashning muqobil usulini beradi.
O'rtacha qiymat teoremasi – Ushbu bo'limda biz Rol teoremasini va o'rtacha qiymat teoremasini beramiz. O'rtacha qiymat teoremasi bilan biz bir nechta juda yaxshi faktlarni isbotlaymiz, ulardan biri keyingi bobda juda foydali bo'ladi.
Optimallashtirish - Ushbu bo'limda biz ikkita o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyaning mutlaq minimumini va/yoki maksimalini aniqlaymiz, bu ikkala o'zgaruvchi har doim qondirishi kerak bo'lgan ba'zi bir cheklash yoki munosabatlar. Biz funktsiyaning mutlaq minimal yoki maksimalini aniqlashning bir necha usullarini muhokama qilamiz. Ushbu bo'limdagi misollar kvadratlar, qutilar, tsilindrlar va boshqalar kabi geometrik ob'ektlar atrofida joylashgan.
Ko'proq optimallashtirish muammolari - Ushbu bo'limda biz optimallashtirish muammolarini ishlashni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi misollar biroz ko'proq ishtirok etadi va ko'pincha oldingi bo'limda ko'rib chiqqan "oddiy" geometrik ob'ektlardan farqli o'laroq, eskiz bilan osonroq tasvirlanadigan vaziyatlarni o'z ichiga oladi.
L'Hospital qoidasi va noaniq shakllari - Ushbu bo'limda biz noaniq shakllar va limitlarni qayta ko'rib chiqamiz va L'Hospital qoidasini ko'rib chiqamiz. L'Hospital qoidasi bizga ilgari erisha olmagan ba'zi limitlarni baholashga imkon beradi.
Chiziqli taxminlar - Ushbu bo'limda biz funktsiyaga chiziqli yaqinlashishni hisoblash uchun hosiladan foydalanishni muhokama qilamiz. Funktsiyaning ma'lum nuqtalardagi qiymatlarini taxmin qilish uchun funktsiyaning chiziqli yaqinlashuvidan foydalanishimiz mumkin. Funktsiyaga ega bo'lganimizda buni qilish foydali ish bo'lib tuyulishi mumkin bo'lsa-da, haqiqatan ham buni qilishni xohlash uchun sabablar bor. Biz misollarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan ikkita usulni beramiz.
Differensiallar – Ushbu bo'limda biz funktsiya uchun differentsialni hisoblaymiz. Ushbu bo'limda biz differentsiallarning qo'llanilishini beramiz. Biroq, differentsiallarning eng muhim qo'llanilishidan biri keyingi bobda bo'ladi va afsuski, biz uni shu vaqtgacha muhokama qila olmaymiz.
Nyuton usuli - Ushbu bo'limda biz Nyuton usulini muhokama qilamiz. Nyuton usuli - bu tenglamaning yechimlarini taxminiy aniqlash imkonini beradigan hosilalarni qo'llash. To'g'ridan-to'g'ri echib bo'lmaydigan ko'plab tenglamalar mavjud va bu usul yordamida biz ushbu tenglamalarning ko'pchiligining yechimlariga yaqinlashishimiz mumkin.
Biznes ilovalar - Ushbu bo'limda biz derivativlarning biznes sohasidagi ba'zi bir asosiy qo'llanilishini yuzaki muhokama qilamiz. Biz maksimal va/yoki minimal funktsiya qiymatini topishni qayta ko'rib chiqamiz va biz marjinal xarajat funktsiyasini, o'rtacha xarajatni, daromad funktsiyasini, marjinal daromad funktsiyasini va marjinal foyda funktsiyasini aniqlaymiz. E'tibor bering, ushbu bo'lim faqat ushbu tushunchalarni tanishtirish uchun mo'ljallangan va ular haqida hamma narsani o'rgatmaydi.