Asosiy tarkibga o'tish

12.6-bo'lim : Vektor funktsiyalari

5. Vektor funksiyaning grafigini chizing: \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4\sin \left( t \right),8\cos \left( t \right)} \right\rangle \)

Yechim

Vektor funktsiyalari grafigini chizishning bir usuli, albatta, vektorlar to'plamini hisoblash va keyin biz ularni pozitsiya vektorlari deb hisoblaganimizni eslash va ulardan olingan "nuqtalarni" chizishdir.

Bu, agar biz \(t\) ning "to'g'ri" qiymatlarini tanlasak, ishlaydi, bu bizga yaxshi nuqtalarni beradi, biz grafik nima ekanligini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin.

Shunday qilib, buni oldini olish uchun, esda tutingki, biz ularni pozitsiya vektorlari deb hisoblaganimiz sababli, grafikni chizish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan mos keladigan parametrik tenglamalar to'plamini yozishimiz mumkin. Ushbu vektor funksiya uchun parametrik tenglamalar:

\[\begin{align*}x & = 4\sin \left( t \right)\\ y & = 8\cos \left( t \right)\end{align*}\]
2-qadam

Endi parametrik tenglamalarni ko‘rib chiqsak, biz bilamizki, bu koordinata boshida joylashgan ellipsning grafigi bo‘lib, o‘ng/chap nuqtalar koordinata boshidan 4, yuqori/pastki nuqtalari esa koordinatadan 8 masofada joylashgan.

3-qadam

Grafikning eskizi quyida keltirilgan.

A sketch of the graph of the vector function \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4\sin \left( t \right),8\cos \left( t \right)} \right\rangle \). The graph is an ellipse centered at the origin reaching out to \(x = \pm 4\) and up and down to \(y = \pm 8\). Points around the ellipse are marked and labeled with their \(t\) values, running from \(t = 0\) at the top clockwise around through \(\frac{\pi }{8}\), \(\frac{\pi }{4}\) and so on, and dashed vectors are drawn from the origin out to each point.

Tasviriy maqsadlarda biz turli xil \(t\) uchun vektorlar to'plamini qo'ydik, shunchaki ular etarli bo'lganda biz grafikni ham qo'lga kiritgan bo'lar edik. Albatta, parametrni olib tashlash va algebraik tenglamalarning grafigini tuzish osonroq edi (i.e. faqat \(x\) va \(y\) ni o'z ichiga olgan tenglama).