Yuqorida aytib o'tilganidek, \(D\) mintaqasi \(xz\) tekisligida bo'ladi va sirt \(y = f\left( {x,z} \right)\) shaklida berilgan. Biz eslatmalarda bergan sirt maydoni formulasi faqat \(z = f\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan sirt bilan \(xy\) tekisligida joylashgan \(D\) mintaqasi uchundir.

Biroq, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bu sozlash uchun formulani olish uchun formulani quyidagi tarzda o'zgartirish ekanligini tushunish juda qiyin bo'lmasligi kerak.

\[S = \iint\limits_{D}{{\sqrt {{{\left[ {{f_x}} \right]}^2} + {{\left[ {{f_z}} \right]}^2} + 1} \,dA}}\hspace{0.25in}\,y = f\left( {x,z} \right)\hspace{0.25in}D\,\,{\mbox{is in the }}xz{\mbox{ - plane}}\]

Shunday qilib, sirt maydoni uchun integrali,

\[S = \iint\limits_{D}{{\sqrt {{{\left[ {4x} \right]}^2} + {{\left[ {4z} \right]}^2} + 1} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\sqrt {16{x^2} + 16{z^2} + 1} \,dA}}\]

Endi, biz 1-bosqichda ta'kidlaganimizdek, \(D\) mintaqasi \(xz\) tekisligida va biz \({x^2} + {z^2} = 4\) tomonidan berilgan silindr ichidagi elliptik paraboloid qismidan keyin bo'lganimiz sababli, \(D\) mintaqasi \({x^2} + {z^2} \le 4\) diski bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.

Shuningdek, 1-bosqichda taʼkidlanganidek, bu integral uchun bizga qutbli koordinatalar kerak boʻladi, shuning uchun bu yerda qutb koordinatalari boʻyicha integral uchun chegaralar keltirilgan.

\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 2\end{array}\]

Endi integralni qutb koordinatalariga aylantiramiz. Biroq, ular "standart" qutb koordinatalari bo'lmaydi. \(D\) \(xz\) tekisligida bo‘lgani uchun biz quyidagi “o‘zgartirilgan” qutb koordinatalaridan foydalanishimiz kerak bo‘ladi.

\[\begin{align*}x & = r\cos \theta \\ z & = r\sin \theta \\ {x^2} + {z^2} & = {r^2}\end{align*}\]

Integralni qutbli koordinatalarga aylantirsak, shunday bo'ladi:

\[S = \iint\limits_{D}{{\sqrt {16{x^2} + 16{z^2} + 1} \,dA}} = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{2}{{r\sqrt {16{r^2} + 1} \,dr}}\,d\theta }}\]

\(dA\)-ni qutb koordinatalariga aylantirishdan qo'shimcha \(r\)-ni olishni unutmang. Bu biz "standart" qutb koordinatalari uchun ishlatadigan \(dA\) bilan bir xil.

OK, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralni baholash.

\[\begin{align*}S & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{2}{{r\sqrt {16{r^2} + 1} \,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\frac{1}{{48}}{{\left( {16{r^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{1}{{48}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\frac{1}{{48}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right)\theta } \right|_0^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{\pi }{{24}}\left( {{{65}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right) = 68.4667}}\end{align*}\]