SurfaceArea - 1-masala yechimi | MathModel.uz

15.9-bo'lim : Er yuzasi

1. $2x + 3y + 6z = 9$ ning 1 da joylashgan qismining sirt maydonini aniqlang^st oktant.

Yechim

Xo'sh, keling, biz nima bilan shug'ullanayotganimizni his qilishimiz uchun sirtning qisqacha eskizidan boshlaylik.

$A three dimensional sketch of the surface drawn with the traditional axes. It is the portion of the plane $2x + 3y + 6z = 9$ that lies in the first octant, a flat triangular sheet with corners on each of the three coordinate axes.$

$A three dimensional sketch of the same portion of the plane $2x + 3y + 6z = 9$ in the first octant, this time drawn with a set of “box” axes to make the surface easier to visualize.$

Biz "an'anaviy" o'qlar to'plami bilan bir qatorda "quti" o'qlari to'plami bilan eskizlarni berdik, bu sirtni ingl.

2-qadam

Keling, avval ushbu sirtning sirt maydoni uchun integralni o'rnatamiz. Bu sirt hech bir koordinata tekisligida $D$ mintaqasini majburlamaydi, shuning uchun biz ulardan istalgani bilan ishlashimiz mumkin.

Shunday qilib, keling, $D$ bilan $xy$ tekisligida ishlaylik. Bu, o'z navbatida, biz birinchi navbatda $z$ uchun tekislik tenglamasini echishimiz kerakligini anglatadi,

\[z = \frac{3}{2} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y\]

Endi sirt maydoni uchun integrali,

\[S = \iint\limits_{D}{{\sqrt {{{\left[ { - \frac{1}{3}} \right]}^2} + {{\left[ { - \frac{1}{2}} \right]}^2} + 1} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\sqrt {\frac{{49}}{{36}}} \,dA}} = \iint\limits_{D}{{\frac{7}{6}\,dA}}\]

3-qadam

Endi biz integralimizda foydalanishimiz kerak bo'lgan $D$ mintaqasini aniqlashimiz kerak. Bu holda $D$ shunchaki tekislik ostida joylashgan $xy$ tekisligidagi uchburchakdir. Mana $D$ ning qisqacha eskizi.

$A sketch of the region $D$, the triangle in the xy-plane directly below the plane. It is bounded by the x-axis, the y-axis and the line $2x + 3y = 9$, which can also be written $y = - \frac{2}{3}x + 3$, and the inside is shaded green. The triangle runs from the origin out to $\left( {4.5,0} \right)$ on the x-axis and up to $\left( {0,3} \right)$ on the y-axis.$

Gipotenuza tenglamasini oddiygina $z = 0$ ni tekislik tenglamasiga ulash orqali topish mumkin, chunki bu tekislikning $xy$ tekisligi bilan kesishgan joyidan boshqa narsa emas.

Bu $D$ uchun bir qator limitlar.

\[\begin{array}{c} \displaystyle 0 \le x \le \frac{9}{2}\\ \displaystyle 0 \le y \le - \frac{2}{3}x + 3\end{array}\]

4-qadam

Endi, odatda, biz ushbu nuqtada integralni baholashni davom ettiramiz va agar xohlasak, buni qilishimiz mumkin edi. Biroq, bu holatda biz buni qilishimiz shart emas.

Keling, sirt maydoni integralini quyidagi tarzda tezda qayta yozamiz.

\[S = \frac{7}{6}\iint\limits_{D}{{dA}}\]

Ushbu nuqtada biz integralning integrali faqat 1 ekanligini ko'rishimiz mumkin.

5-qadam

Integral faqat 1 bo'lgani uchun biz ushbu integralning qiymati $D$ maydonidan boshqa narsa emasligidan foydalanishimiz mumkin va $D$ shunchaki to'g'ri burchakli uchburchak bo'lgani uchun biz $D$ maydonini tezda hisoblashimiz mumkin.

Keyin sirt maydoni,

\[S = \frac{7}{6}\iint\limits_{D}{{dA}} = \frac{7}{6}\left( {{\mbox{Area of }}D} \right) = \frac{7}{6}\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right)\left( 3 \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{63}}{8}}}\]

$\iint\limits_{D}{{dA}}$ qiymati haqidagi bu yoqimli faktni unutmang. Bu tez-tez paydo bo'lmaydi, lekin $D$ hisoblash uchun qulay maydon bo'lsa, u integral baholash uchun ish hajmini sezilarli darajada kamaytirishi mumkin.