Endi biz \(S\) sirtini topishimiz kerak bo'lgan yo'nalishga ega bo'lgan chegara egri chizig'i muammo bayonotida ko'rsatilgan egri chiziq, shu jumladan to'g'ri yo'nalish.

Bunday holda biz uchburchak tekislikning bir qismiga o'xshab ko'rinishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz bu erda sirt uchun uchta uchini o'z ichiga olgan tekislik tenglamasidan foydalanishimiz mantiqiy.

Vektor maydonining burmasi biroz tartibsiz ko'rinadi, shuning uchun bu erda samolyotdan foydalanish bu nuqtai nazardan ham eng yaxshi garov bo'lishi mumkin. Bu (umid qilamanki) vektor maydonining jingalaklanishini hech qanday chalkashliklarga olib kelmaydi va biz tekislik tenglamasidan oladigan normal vektor oddiy bo'ladi va shuning uchun vektor maydonining burmasini yomonlashtirmasligi kerak.

Samolyotning tenglamasini aniqlash juda oddiy. Bizda tekislikda uchta nuqta, uchlari bor va shuning uchun biz tenglamani tezda aniqlay olamiz.

Birinchidan, keling, fikrlarni quyidagicha "yorliqlaymiz",

\[P = \left( {4,0,0} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}Q = \left( {0,2,0} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}R = \left( {0,0,3} \right)\]

Keyin tekislikda yotishi kerak bo'lgan ikkita vektor,

\[\overrightarrow {QP} = \left\langle {4, - 2,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\overrightarrow {QR} = \left\langle {0, - 2,3} \right\rangle \]

Samolyot tenglamasini yozish uchun biz tekislikka normal vektor kerakligini eslaymiz. Endi bilamizki, bu ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi ikkala vektorga ortogonal boʻladi. Bundan tashqari, ikkala vektor ham tekislikda yotganligi sababli, o'zaro ko'paytma ham tekislikka ortogonal yoki normal bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, biz ushbu ikki vektorning o'zaro ko'paytmasini tekislikka normal vektor sifatida ishlatishimiz mumkin.

O'zaro mahsulot,

\[\overrightarrow {QP} \times \overrightarrow {QR} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\4&{ - 2}&0\\0&{ - 2}&3\end{array}} \right| = - 6\vec i - 12\vec j - 8\vec k\]

Endi biz tenglamamizdagi istalgan nuqtadan foydalanishimiz mumkin. Fikrimiz uchun \(Q\) dan foydalanamiz. U holda tekislikning tenglamasi,

\[\begin{array}{r} - 6\left( {x - 0} \right) - 12\left( {y - 2} \right) - 8\left( {z - 0} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\, - 6x - 12y - 8z = - 24\\ \underline {3x + 6y + 4z = 12} \,\,\,\,\end{array}\]

E'tibor bering, biz tenglamani ishlash uchun biroz "chiroyli" qilish uchun tenglamani -2 ga bo'ldik.

Endi biz normal vektorlarning yo'nalishini aniqlashimiz kerak, ular \(C\) chegara egri chizig'ining ijobiy yo'nalishini keltirib chiqaradi, bu muammo bayonotida berilgan yo'nalishga mos keladi.

Esda tutingki, biz bu erda qilmoqchi bo'lgan narsa o'zimizni chap qo'limiz samolyot ustida turganda, ko'rsatilgan yo'nalishda sirtning chegara egri chizig'i bo'ylab yuramiz deb o'ylashdir. Endi biz samolyotning tepasida yoki pastki qismida yurayotganimizni aniqlashimiz kerak.

Agar biz samolyot tepasida ketayotgan bo'lsak, boshimiz va shuning uchun oddiy vektorlar odatda yuqoriga qarab ishora qiladi. Boshqa tomondan, agar biz samolyotning pastki qismida yuradigan bo'lsak, unda boshimiz va shuning uchun oddiy vektorlar odatda pastga qaragan bo'ladi.

Buni bizning samolyotimiz uchun tasavvur qilish uchun uchburchak qog'ozni kesib olishimiz mumkin, biz samolyotni tasvirlashda foydalanishimiz mumkin. Keyin qog'ozning cheti chegara egri chizig'ini ifodalaydi. Keyin tayoqchani kesib oling va yuzni bir tomonga qo'ying, shunda biz qaysi yo'nalishda yurganimizni bilib olamiz va chap tomonning qaysi tomoni ekanligini aniqroq qilish uchun chap qo'lni yorqin rangga bo'yaymiz.

Endi, qog'oz varag'ini biz ishlayotgan sirtga noaniq ko'rinishi uchun ushlab turing va tayoq shaklini chetiga, yuzi egri chiziq harakatlanayotgan tomonga, chap qo'l bilan stakan/piyola ustiga qo'ying. Buni qilsak, biz sirtning yuqori qismida yurishimiz kerakligini tezda ko'ramiz. Shuning uchun, sirtdagi normal vektorlar odatda yuqoriga yo'naltirilgan bo'lishi kerak (va shuning uchun ijobiy \(z\) komponentiga ega bo'ladi).

Endi biz integralni haqiqiy hisoblash haqida o'ylashni boshlashimiz kerak. Sirt tenglamasini quyidagicha yozamiz:

\[z = 3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y\]

Eslatib o'tamiz, agar biz sirtni parametrlashtirmoqchi bo'lmasak, uni \(z = g\left( {x,y} \right)\) deb yozishimiz kerak, shunda normal vektorning kattaligi oxir-oqibat bekor qilinadi.

Endi bizda "to'g'ri" shaklda yozilgan sirt borligini aniqlaymiz,

\[f\left( {x,y,z} \right) = z - 3 + \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}y = 0\]

Sirt uchun normal birlik vektor u holda,

\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle {\frac{3}{4},\frac{3}{2},1} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]

Biz gradientning kattaligini hisoblamadik, chunki biz integral bilan ishlashni boshlaganimizda u bekor qilinishini bilamiz.

Shuni ham yodda tutingki, bu to'g'ri yo'nalishga ega, chunki \(z\) komponenti ijobiydir.

Keyinchalik, biz quyidagi nuqta mahsulotini hisoblashimiz kerak.

\[\begin{align*}{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot \vec n & = \left\langle {4{x^2},\left( {3{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 8yx} \right), - 3{x^2}} \right\rangle \centerdot \frac{{\left\langle {\frac{3}{4},\frac{3}{2},1} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {3{x^2} + \frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy - 3{x^2}} \right)\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {\frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy} \right]\end{align*}\]

Sirt tenglamasini vektor maydonining burmasiga ulashni unutmang.

Endi Stoks teoremasini integralga qo'llash va "normal" ikki karrali integralga aylantirish,

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}} & = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}}\\ & = \iint\limits_{S}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {\frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy} \right]dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left[ {\frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy} \right]\left\| {\nabla f} \right\|dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy\,dA}}\end{align*}\]

Ushbu integralni tugatish uchun biz faqat \(D\) ni aniqlashimiz kerak. Bu holda \(D\) faqat \(xy\) tekisligidagi tekislik ostida joylashgan uchburchak. Mana \(D\) ning qisqacha eskizi.

Integral bitta integratsiya tartibini boshqasiga nisbatan taklif qilmaydi, shuning uchun integralimiz uchun quyidagi limitlar to'plamidan foydalanamiz.

\[\begin{array}{c}0 \le x \le 4\\ 0 \le y \le 2 - \frac{1}{2}x\end{array}\]

U holda integral,

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}} & = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}}\\ & = \int_{0}^{4}{{\int_{0}^{{2 - \frac{1}{2}x}}{{\frac{9}{2}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^2} - 12xy\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{\left. {\left( { - {{\left( {3 - \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}y} \right)}^3} - 6x{y^2}} \right)} \right|_0^{2 - \frac{1}{2}x}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{{{\left( {3 - \frac{3}{4}x} \right)}^3} - 6x{{\left( {2 - \frac{1}{2}x} \right)}^2}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{{{\left( {3 - \frac{3}{4}x} \right)}^3} - 24x + 12{x^2} - \frac{3}{2}{x^3}\,dx}}\\ & = \left. {\left( { - \frac{1}{3}{{\left( {3 - \frac{3}{4}x} \right)}^4} - 12{x^2} + 4{x^3} - \frac{3}{8}{x^4}} \right)} \right|_0^4\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 5}}\end{align*}\]