Endi biz \(S\) sirtini topishimiz kerak, bu yo'nalishga ega bo'lgan chegara egri chizig'iga ega bo'ladi, bu muammo bayonotida ko'rsatilgan egri chiziq, shu jumladan to'g'ri yo'nalish. Ba'zida bu juda qiyin vazifa bo'lib tuyulishi mumkin, ammo u ko'rinadigan darajada yomon emas. Avval biz chegara egri chizig'i aylana bo'lishi kerakligini bilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz ko'ndalang kesimi aylana bo'lgan sirtni qidiramiz va biz ushbu talabga javob beradigan bir nechta sirtlarni bilamiz. Biz bilamizki, sharlar, konuslar va elliptik paraboloidlar ko'ndalang kesim sifatida doiralarga ega.

Savol tug'iladi, bu sirtlarning qaysi biri bu muammoda biz uchun eng yaxshi bo'ladi. Ushbu qarorni qabul qilish uchun esda tutingki, biz oxir-oqibat bu sirtni vektor maydoniga ulab, so'ngra oddiy vektor bilan uning nuqta mahsulotini olishimiz kerak (bu, albatta, sirtdan ham keladi).

Umuman olganda, vektor maydonining burmasidan biz qaysi sirtni ishlatishimiz kerakligini darhol aniqlab bo'lmaydi va bu erda ham shunday. Vektor maydonining jingalaklari uchta komponentga ega va ularning hech biri bilan kurashish unchalik qiyin emas, lekin bitta sirt boshqasidan osonroq bo'lishi mumkinligini ko'rsatadigan hech narsa yo'q.

Shunday qilib, avval sharni ko'rib chiqaylik. Sferalar bilan bog'liq muammo shundaki, uning parametrlari va normal vektori uzun va ko'pchilik tartibsiz integrallarga olib keladi. Shunday qilib, vektor maydonining jingalaklari uning uchta komponentini o'z ichiga oladi, bu uzoq va/yoki tartibsiz integrallarga olib kelishi mumkin, chunki biz bu muammo uchun shar bilan ishlamaymiz.

Endi konus haqida o'ylab ko'raylik. Konusning tenglamalari unchalik yomon emas, lekin ular kvadrat ildizni o'z ichiga oladi va bu holda \(y = \sqrt {a{x^2} + b{z^2}} \) shaklida bo'lishi kerak, chunki chegara egri chizig'i \(y\) o'qida joylashgan. Oddiy vektor ham ildizlarni o'z ichiga oladi va bu ko'pincha tartibsiz integrallarga olib keladi. Shunday qilib, keling, bu muammoda ham konus bilan ishlamaylik.

Bu elliptik paraboloidlarni qoldiradi va biz ularni birinchi navbatda ko'rib chiqishimiz kerak edi. Tenglamalar oddiy va normal vektorlar undan ham sodda, shuning uchun ular bu muammo uchun sirtni tanlashning yaxshi usuli kabi ko'rinadi.

E'tibor bering, biz sharlar va konuslar hech qachon sirt uchun yaxshi tanlov emas deb aytmayapmiz. Ba'zi vektor maydonlari uchun jingalak bu sirtlardan biri bilan juda oddiy bo'lishi mumkin va shuning uchun ular juda yaxshi tanlov bo'ladi.

Bu erda foydalanishimiz mumkin bo'lgan elliptik paraboloidlar uchun ikkita imkoniyatimiz bor. Ikkalasi ham \(y\) o'qi markazida bo'ladi, lekin biri manfiy \(y\) yo'nalishida, ikkinchisi esa ijobiy \(y\) yo'nalishida ochiladi.

Bu erda biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan elliptik paraboloidlarning bir nechta eskizlari.

Keling, bularning har biri uchun tenglamani olamiz. E'tibor bering, ularning har biri uchun paraboloid va \(y = 4\) tekisligi tenglamasini o'rnatsak, \({x^2} + {z^2} = 9\) doirasini olishimiz kerak, chunki bu \(y = 4\) da yuzaga kelishi kerak bo'lgan chegara egri chizig'i.

Keling, birinchi paraboloidning tenglamasini olamiz (manfiy \(y\) yo‘nalishida ochilgan. Biz bilamizki, bu paraboloid tenglamasi \(a\) ning ba’zi bir qiymati uchun \(y = a - {x^2} - {z^2}\) bo‘lishi kerak. Ta’kidlanganidek, agar biz buni \(y = 4\) ga tenglashtirsak va biroz soddalashtirsak, ikkita tenglikni olishimiz kerakligini bilamiz.

\[4 = a - {x^2} - {z^2}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,{x^2} + {z^2} = a - 4 = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}a = 13\]

Ko'rsatilgandek, biz \(a - 4\) 9 bo'lishi kerakligini bilamiz va shuning uchun bizda \(a = 13\) bo'lishi kerak. Shuning uchun manfiy \(y\) yo‘nalishida ochiladigan paraboloid tenglamasi:

\[y = 13 - {x^2} - {z^2}\]

Keyinchalik, musbat \(y\) yo'nalishida ochiladigan paraboloid tenglamasini olaylik. Ushbu paraboloidning tenglamasi ba'zi \(a\) uchun \(y = {x^2} + {z^2} + a\) shaklida bo'ladi. Buni \(y = 4\) ga tenglashtirish,

\[4 = {x^2} + {z^2} + a\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,{x^2} + {z^2} = 4 - a = 9\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}a = - 5\]

Paraboloidning musbat \(y\) yo‘nalishida ochiladigan tenglamasi u holda,

\[y = {x^2} + {z^2} - 5\]

Ushbu muammoni hal qilish uchun ushbu sirtlarning har biri ishlatilishi mumkin.

Endi biz normal vektorlarning yo'nalishini aniqlashimiz kerak, ular \(C\) chegara egri chizig'ining ijobiy yo'nalishini keltirib chiqaradi, bu muammo bayonotida berilgan yo'nalishga mos keladi.

Biz har bir sirt uchun oddiy vektorlarni topamiz, garchi biz buni faqat ulardan biri uchun qilishimiz kerak, chunki oldingi bosqichda aytib o'tilganidek, muammoni hal qilish uchun bizga faqat bitta sirt kerak. Sirtning yo'nalishini aniqlash ba'zi odamlar uchun biroz qiyin bo'lishi mumkin, shuning uchun qo'shimcha qilish bu erda nima bo'layotganini ko'rishga yordam beradi.

Esda tutingki, biz bu erda qilmoqchi bo'lgan narsa o'zimizni ko'rsatilgan yo'nalish bo'yicha sirtning chegara egri chizig'i bo'ylab, chap qo'limiz esa sirt ustida yurganimiz deb o'ylashdir. Endi biz sirtning tashqi tomoni yoki sirtning ichki tomoni bo'ylab yurganimizni aniqlashimiz kerak.

Agar biz sirtning tashqi tomoni bo'ylab yuradigan bo'lsak, boshimiz va shuning uchun oddiy vektorlar sirt bilan o'ralgan hududdan uzoqqa ishora qiladi. Boshqa tomondan, agar biz sirtning ichki qismi bo'ylab yuradigan bo'lsak, unda boshimiz va shuning uchun oddiy vektorlar sirt bilan o'ralgan hududga ishora qiladi.

Buni ikki yuzamiz uchun tasavvur qilish uchun biz sirtni tasvirlash uchun ishlatishimiz mumkin bo'lgan chashka yoki piyola olishga yordam berishi mumkin. Keyin chashka/idishning cheti chegara egri chizig'ini ifodalaydi. Keyin tayoqchani kesib oling va yuzni bir tomonga qo'ying, shunda biz qaysi yo'nalishda yurganimizni bilib olamiz va chap tomonning qaysi tomoni ekanligini aniqroq qilish uchun chap qo'lni yorqin rangga bo'yaymiz.

Endi chashka/piyolani yon tomoniga qo‘ying, shunda u biz ishlayotgan sirtga o‘xshamaydi va tayoq shaklini chetiga yuzi egri chiziq harakatlanayotgan tomonga, chap qo‘l esa chashka/piyola ustiga qo‘ying. Buni amalga oshirish uchun tayoq shaklini stakan/kosaning ichki yoki tashqi tomoniga qo'yishimiz kerakmi?

Mayli, buni birinchi sirt uchun, \(y = 13 - {x^2} - {z^2}\) uchun qilaylik. Bunday holda, bizning tayoq figuramiz stakan / piyola / sirtning ichki qismida turishi kerak. Shuning uchun, sirtdagi normal vektorlarning barchasi sirt bilan o'ralgan hududga qaratilgan bo'lishi kerak. Bu shuningdek, barcha normal vektorlar manfiy \(y\) komponentiga ega bo'lishi kerakligini anglatadi. Shunga qaramay, buni tasavvur qilish uchun tayoq shaklini oling va uni mintaqaga va piyola / piyola / sirt oxirigacha olib boring va siz u ko'proq salbiy \(y\) yo'nalishiga ishora qila boshlaganini ko'rasiz (va shuning uchun \(y\) manfiy komponentiga ega bo'ladi). E'tibor bering, \(x\) va \(z\) komponentlari biz sirtning ichki qismida joylashgan joyimizga qarab ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.

Keling, birinchi sirtni, \(y = {x^2} + {z^2} - 5\) ni ko'rib chiqaylik. Bu sirt uchun bizning tayoq figuramiz kubok / piyola / sirtning tashqi tomonida turishi kerak. Shunday qilib, bu holda, normal vektorlar sirt bilan o'ralgan mintaqadan uzoqroqqa ishora qiladi. Ularda salbiy \(y\) komponenti ham bo'ladi va buni tasavvur qilish uchun yuqoridagi paragrafda muhokama qilgan usuldan foydalanishingiz mumkin.

Endi biz integralni haqiqiy hisoblash haqida o'ylashni boshlashimiz kerak. Sirt tenglamasini quyidagicha yozamiz:

\[f\left( {x,y,z} \right) = 13 - {x^2} - {z^2} - y = 0\]

U holda sirt uchun birlik normal vektor,

\[\vec n = \frac{{\nabla f}}{{\left\| {\nabla f} \right\|}} = \frac{{\left\langle { - 2x, - 1, - 2z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\]

Biz gradientning kattaligini hisoblamadik, chunki biz integral bilan ishlashni boshlaganimizda u bekor qilinishini bilamiz.

Shuni ham yodda tutingki, bu to'g'ri yo'nalishga ega, chunki \(y\) komponenti salbiy.

Keyinchalik, biz quyidagi nuqta mahsulotini hisoblashimiz kerak.

\[\begin{align*}{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot \vec n & = \left\langle {x, - 2\left( {13 - {x^2} - {z^2}} \right),z} \right\rangle \centerdot \frac{{\left\langle { - 2x, - 1, - 2z} \right\rangle }}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( { - 2{x^2} + 2\left( {13 - {x^2} - {z^2}} \right) - 2{z^2}} \right)\\ & = \frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {26 - 4{x^2} - 4{z^2}} \right)\end{align*}\]

Endi Stoks teoremasini integralga qo'llash va "normal" ikki karrali integralga aylantirish,

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}} & = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}}\\ & = \iint\limits_{S}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {26 - 4{x^2} - 4{z^2}} \right)dS}}\\ & = \iint\limits_{D}{{\frac{1}{{\left\| {\nabla f} \right\|}}\left( {26 - 4{x^2} - 4{z^2}} \right)\left\| {\nabla f} \right\|dA}}\\ & = \iint\limits_{D}{{26 - 4{x^2} - 4{z^2}dA}}\end{align*}\]

Ushbu integralni tugatish uchun biz quyidagi qutb koordinatalaridan foydalanib qutb koordinatalariga aylantirishimiz kerak.

\[x = r\cos \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}z = r\sin \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} + {z^2} = {r^2}\]

Bu holda \(D\) faqat \({x^2} + {z^2} \le 9\) diskidir va shuning uchun integral uchun chegaralar:

\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 3\end{array}\]

U holda integral,

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}}& = \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{3}{{\left( {26 - 4{r^2}} \right)r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\int_{0}^{3}{{26r - 4{r^3}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\left( {13{r^2} - {r^4}} \right)} \right|_0^3\,d\theta }}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{36\,d\theta }}\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{72\pi }}\end{align*}\]

\(dA\) ni qutbli koordinatalarga aylantirishdan qo'shimcha \(r\) olishni unutmang.