17.5-bo'lim : Stoks teoremasi
1. \(\displaystyle \iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}}\) ni baholash uchun Stokes teoremasidan foydalaning, bunda \(\vec F = y\,\vec i - x\,\vec j + y{x^3}\,\vec k\) va \(S\) 4 radiusli sharning \(z \ge 0\) va yuqoriga yo‘naltirilgan qismidir.
Yechim
Keling, ushbu muammoni hal qilishda biz ishlayotgan sirtning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.
Biz an'anaviy o'qlari bo'lgan eskizni va sirtni ingl.
Sirtning yo'nalishi yuqoriga qaraganligi sababli, barcha normal vektorlar tashqariga qaratilgan bo'ladi. Shunday qilib, agar biz sirtning chekkasi bo'ylab yursak, i.e. egri \(C\), ko'rsatilgan yo'nalishda boshimiz yuzadan uzoqqa qaragan holda (i.e. normal vektorlar bilan bir xil yo'nalishda) keyin bizning chap qo'limiz mintaqa ustida bo'ladi. Shuning uchun eskizda ko'rsatilgan yo'nalish \(C\) ning ijobiy yo'nalishidir.
Agar siz egri chiziq yo'nalishini tasavvur qilishda muammoga duch kelsangiz, shunchaki stakan yoki piyola oling va uni stol ustidagi qog'oz varag'iga teskari qo'ying. Vizualizatsiyaga yordam berish uchun qog'oz varag'iga chashka / piyola o'tirgan tekislikni aks ettiruvchi o'qlar to'plamini chizing. Keyin kichkina tayoqchani kesib oling va uning "old" tomoniga yuz qo'ying va chap qo'lni yorqin rangga bo'yab, uni tezda ko'rishingiz mumkin. Endi, chashka / piyola / nima bo'lishidan qat'i nazar, chetiga tayoq shaklini qo'ying, uning boshi oddiy vektorlar yo'nalishiga (bizning holatlarimizda shar/chashka / piyoladan uzoqda) qaratib, chap qo'lini sirtga qo'ying. Tayoq figurasidagi "yuz" qaragan yo'nalish ijobiy yo'nalishni olish uchun sirt bo'ylab yurishingiz kerak bo'lgan yo'nalishdir. \(C\).
2-qadam
Biz Stokes teoremasidan quyidagi yo'nalishda foydalanamiz.
\[\iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}} = \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}}\]Muammo bayonotida vektor maydoni bizga berilgan, shuning uchun biz bu haqda tashvishlanishga hojat yo'q. Biz \(C\) bilan shug'ullanishimiz kerak.
\(C\) sharning yuqori yarmining pastki qismidagi egri chiziq bo'lgani uchun biz \(C\) aslida shar va \(xy\) tekisligining kesishishi bo'lishini ko'rishimiz mumkin (i.e. \(z = 0\)). Shunday qilib, \(C\) faqat 4 radiusli doiradir.
Agar sharga yuqoridan qarasak, biz \(C\) ning quyidagi eskizini olamiz.
\(C\) parametrlari quyidagicha berilgan:
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {4\cos t,4\sin t,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le t \le 2\pi \]Parametrlashning \(z\) komponenti nolga teng, chunki \(C\) \(xy\) tekisligida yotadi.
3-qadam
Biz oxir-oqibat chiziqli integralni bajarishimiz kerakligini bilganimiz sababli, bizga quyidagi nuqta mahsuloti kerakligini bilamiz.
\[\begin{align*}\vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\centerdot \vec r'\left( t \right) & = \left\langle {4\sin t, - 4\cos t,256\sin t{{\cos }^3}t} \right\rangle \centerdot \left\langle { - 4\sin t,4\cos t,0} \right\rangle \\ & = - 16{\sin ^2}t - 16{\cos ^2}t\\ & = - 16\end{align*}\]\(C\) parametrlarini vektor maydoniga ulashni unutmang!
4-qadam
Mayli, keling, Stoks teoremasi yordamida integralni baholaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{S}{{{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\centerdot d\vec S}} & = \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}}\\ & = \int_{0}^{{2\pi }}{{ - 16\,dt}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 32\pi }}\end{align*}\]