Keling, ushbu muammoning muhim nuqtalarini topaylik. Bu quyidagi tizimni hal qilishni anglatadi.

\[\begin{align*}{f_x} & = 0 : \,\,\left( {3 + 12{x^2}} \right)\left( {{y^2} + 2y} \right) = 0\\ {f_y} & = 0 : \left( {3x + 4{x^3}} \right)\left( {2y + 2} \right) = 0\end{align*}\]

Yechish jarayonini ushbu tenglamalardan biri bilan boshlashimiz mumkin, chunki ikkalasini ham hal qilish juda oddiy. Birinchi tenglamadan boshlaylik.

\[\left( {3 + 12{x^2}} \right)\left( {{y^2} + 2y} \right) = \left( {3 + 12{x^2}} \right)\left( y \right)\left( {y + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,y = 0,y = - 2,\,\,x = \pm \frac{1}{2}i\]

OK, hozir bizda hal qilish kerak bo'lgan narsa bor. Bu erda ishlash uchun biz aniq to'rt xil qiymatga ega bo'lamiz. Biroq, ulardan ikkitasi murakkab. Bu erda aytilmagan qoidalardan biri shundaki, biz faqat haqiqiy qadriyatlar bilan ishlaymiz va shuning uchun biz har qanday murakkab javoblarni e'tiborsiz qoldiramiz va faqat haqiqiy qadriyatlar bilan ishlaymiz.

Shunday qilib, bizda \(y\) ning ikkita mumkin bo'lgan qiymati bor, shuning uchun ularning har birini quyidagi tarzda ikkinchi tenglamaga kiritamiz:

\(y = 0 : 2\left( {3x + 4{x^3}} \right) = 2x\left( {3 + 4{x^2}} \right) = 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = 0,x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {0,0} \right)\)

\(y = - 2 : - 2\left( {3x + 4{x^3}} \right) = 2x\left( {3 + 4{x^2}} \right) = 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = 0,x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {0, - 2} \right)\)

Yechish jarayonining birinchi qismida bo'lgani kabi, biz faqat haqiqiy qiymatlarni olamiz va shuning uchun bu qismning murakkab qismlarini e'tiborsiz qoldiramiz.

Oldingi ikkita muammoda biz hozirda mavjud bo'lgan \(x\) va \(y\) qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun emas, balki ehtiyot bo'lish uchun ushbu nuqtada eslatib o'tdik.

Talabalarning tez-tez shunday qilishlarining sabablaridan biri bu kabi muammolar tufayli, biz shunday qilyapmiz. Biroq, biz bu erda barcha kombinatsiyalarni tasodifiy shakllantirganimiz yo'q. Shunday bo'ldiki, biz \(y = 0\) va \(y = - 2\) deb taxmin qilganimizda, biz \(x\), \(x = 0\) ning bir xil qiymatini oldik. Umuman olganda, bu sodir bo'lmaydi va shuning uchun bu muammoni o'qimang, biz har doim funktsiya uchun kritik nuqtalarni olish uchun \(x\) va \(y\) qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini hosil qilamiz. Har bir qadamning boshida qilingan taxminlarga doimo e'tibor qaratishimiz kerak.

Xulosa qilib aytganda, bu funksiya ikkita muhim nuqtaga ega: \(\left( {0, - 2} \right),\,\,\left( {0,0} \right)\).

Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, ushbu tizimni hal qilishning bir nechta usullari mavjudligini ta'kidlashimiz kerak. Siz ishlatgan jarayon biz bu erda ishlatgan jarayon bilan bir xil bo'lmasligi mumkin. Biroq, tizimni hal qilish uchun ishlatiladigan jarayondan qat'i nazar, echimlar har doim bir xil bo'lishi kerak.

Keyinchalik, bizga quyidagilar kerak bo'ladi:

\[\begin{align*}D\left( {x,y} \right) & = {f_{x\,x}}{f_{y\,y}} - {\left[ {{f_{x\,y}}} \right]^2}\\ & = \left[ {24x\left( {{y^2} + 2y} \right)} \right]\left[ {2\left( {3x + 4{x^3}} \right)} \right] - {\left[ {\left( {3 + 12{x^2}} \right)\left( {2y + 2} \right)} \right]^2}\\ & = 48x\left( {3x + 4{x^3}} \right)\left( {{y^2} + 2y} \right) - {\left( {3 + 12{x^2}} \right)^2}{\left( {2y + 2} \right)^2}\end{align*}\]

\(D\left( {x,y} \right)\) yordamida endi har bir muhim nuqtani quyidagicha tasniflashimiz mumkin.

\[\begin{align*} & \left( {0, - 2} \right) & : \hspace{0.25in} & D\left( {0, - 2} \right) = - 36 < 0 & \hspace{0.25in}& {\mbox{Saddle Point}}\\ & \left( {0,0} \right) & : \hspace{0.25in} & D\left( {0,0} \right) = - 36 < 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Saddle Point}}\end{align*}\]

Har doim har bir muammoning kamida bitta nisbiy ekstremal bo'lishini kutmang. Ushbu misol ko'rsatganidek, faqat egar nuqtalariga ega bo'lish mutlaqo mumkin.