Keling, ushbu muammoning muhim nuqtalarini topaylik. Bu quyidagi tizimni hal qilishni anglatadi.

\[\begin{align*}{f_x} & = 0 : \,7 + 2y - 2x = 0\\ {f_y} & = 0 : - 8 + 2x + 3{y^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 4 - \frac{3}{2}{y^2}\end{align*}\]

Yuqorida ko'rsatilganidek, biz \(x\) uchun ikkinchi tenglamani yechdik va endi buni birinchi tenglamaga quyidagicha ulashimiz mumkin,

\[0 = 7 + 2y - 2\left( {4 - \frac{3}{2}{y^2}} \right) = 3{y^2} + 2y - 1 = \left( {3y - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,y = - 1,\,\,\,y = \frac{1}{3}\]

Bu \(y\) ning ikkita qiymatini beradi, biz endi mos \(x\) qiymatlarini topish uchun tenglamalarimizdan biriga qayta ulanishimiz mumkin. Mana o'sha ish.

\(y = - 1 : x = 4 - \frac{3}{2}{\left( { - 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{5}{2}, - 1} \right)\)

\(y = \frac{1}{3} : x = 4 - \frac{3}{2}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{23}}{6}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{{23}}{6},\frac{1}{3}} \right)\)

Ushbu tenglamalar sistemasining yechimini yozishda ehtiyot bo'ling. Talabalar bu yerda qiladigan eng katta xatolardan biri bu ular olgan \(x\) va \(y\) qiymatlarining barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalarini yozishdir. Bu turdagi tizimlar shunday hal etilmaydi!

Biz yuqorida \(x = \frac{5}{2}\) ni oldik, chunki biz avval \(y = - 1\) deb taxmin qilganmiz va bu yuqoridagi birinchi qatorda keltirilgan yechimga olib keladi. Xuddi shunday, biz faqat \(x = \frac{{23}}{6}\) ni oldik, chunki biz birinchi navbatda yuqoridagi ikkinchi qatorda keltirilgan ikkinchi yechimga olib keladigan \(y = \frac{1}{3}\) deb taxmin qildik. \(\left( {\frac{5}{2},\frac{1}{3}} \right)\) va \(\left( {\frac{{23}}{6}, - 1} \right)\) nuqtalari bu tizim uchun yechim emas, chunki bu nuqtalarni tizimdagi tenglamalardan biriga ulash orqali osongina tekshirish mumkin.

Shunday qilib, faqat \(x\) va \(y\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini nuqtalarga "aralashtiring va moslashtirmang" va ularni barcha echimlar deb nomlang. Bu ko'pincha tenglamalar sistemasining echimi bo'lmagan nuqtalarga olib keladi. Yechish jarayonida ma'lum \(x\) yoki \(y\) qiymatlarini olish uchun qanday taxminlarni amalga oshirishingiz kerakligini doimo yodda tutishingiz kerak va faqat bu qiymatlarni siz qilishingiz kerak bo'lgan taxmin bilan moslashtirishingiz kerak.

Xulosa qilib aytganda, bu funksiya ikkita muhim nuqtaga ega: \(\left( {\frac{5}{2}, - 1} \right),\,\,\left( {\frac{{23}}{6},\frac{1}{3}} \right)\).

Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, ushbu tizimni hal qilishning bir nechta usullari mavjudligini ta'kidlashimiz kerak. Siz ishlatgan jarayon biz bu erda ishlatgan jarayon bilan bir xil bo'lmasligi mumkin. Biroq, tizimni hal qilish uchun ishlatiladigan jarayondan qat'i nazar, echimlar har doim bir xil bo'lishi kerak.

Keyinchalik, bizga quyidagilar kerak bo'ladi:

\[D\left( {x,y} \right) = {f_{x\,x}}{f_{y\,y}} - {\left[ {{f_{x\,y}}} \right]^2} = \left[ { - 2} \right]\left[ {6y} \right] - {\left[ 2 \right]^2} = - 12y - 4\]

\(D\left( {x,y} \right)\) yordamida endi har bir muhim nuqtani quyidagicha tasniflashimiz mumkin.

\[\begin{align*} & \left( {\frac{5}{2}, - 1} \right) & : \hspace{0.25in} & D\left( {\frac{5}{2}, - 1} \right) = 8 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{f_{x\,x}}\left( {\frac{5}{2}, - 1} \right) = - 2 < 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Relative Maximum}}\\ & \left( {\frac{{23}}{6},\frac{1}{3}} \right) & : \hspace{0.25in} & D\left( {\frac{{23}}{6},\frac{1}{3}} \right) = - 8 < 0 &\hspace{0.25in} & {\mbox{Saddle Point}}\end{align*}\]

Agar \(D\) ijobiy bo'lsa, \({f_{x\,x}}\) qiymatini tekshirishni unutmang, shunda biz to'g'ri tasnifni olamiz (i.e. maksimal yoki minimal) va shuningdek, salbiy \(D\) uchun bizga ikkinchi tekshirish kerak emasligini unutmang, chunki biz tanqidiy nuqta egar nuqtasi bo'lishini bilamiz.