Keling, ushbu muammoning muhim nuqtalarini topaylik. Bu quyidagi tizimni hal qilishni anglatadi.

\[\begin{align*}{f_x} & = 0 : 2\left( {y - 2} \right)x = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}y = 2\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,x = 0\\ {f_y} & = 0 : {x^2} - 2y = 0\end{align*}\]

Yuqorida ko'rsatilgandek, bizda birinchi tenglamadan ikkita mumkin bo'lgan variant mavjud. Tenglama uchun kritik nuqtalarni olish uchun har birini ikkinchi tenglamaga ulashimiz mumkin.

\(y = 2 : {x^2} - 4 = 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = \pm 2\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {2,2} \right)\,\,\,\,{\mbox{and}}\,\,\,\left( { - 2,2} \right)\)

\(x = 0 : - 2y = 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,y = 0\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {0,0} \right)\)

Ushbu tenglamalar sistemasining yechimini yozishda ehtiyot bo'ling. Talabalar bu yerda qiladigan eng katta xatolardan biri - ular olgan \(x\) va \(y\) qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini yozishdir. Bu turdagi tizimlar shunday hal etilmaydi!

Biz yuqorida \(x = \pm 2\) ni oldik, chunki biz avval \(y = 2\) deb taxmin qilganmiz va bu yuqoridagi birinchi qatorda keltirilgan ikkita yechimga olib keladi. Xuddi shunday, biz faqat \(y = 0\) ni oldik, chunki biz birinchi navbatda \(x = 0\) ikkinchi qatorda yuqorida sanab o'tilgan uchinchi yechimga olib keladi deb taxmin qildik. \(\left( {0,2} \right)\), \(\left( { - 2,0} \right)\) va \(\left( {2,0} \right)\) nuqtalari ushbu tizim uchun yechim EMAS, chunki ularni tizimdagi ikkinchi tenglamaga ulash orqali osongina tekshirish mumkin.

Shunday qilib, \(x\) va \(y\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini nuqtalarga "aralashtiring va moslashtirmang" va ularni barcha echimlar deb atamang. Bu ko'pincha tenglamalar sistemasining echimi bo'lmagan nuqtalarga olib keladi. Yechim jarayonida ma'lum \(x\) yoki \(y\) qiymatlarini olish uchun qanday taxminlarni amalga oshirishingiz kerakligini doimo yodda tutishingiz kerak va faqat ushbu qiymatlarni siz qilishingiz kerak bo'lgan taxminga moslashtirishingiz kerak.

Xulosa qilib aytganda, bu funksiya uchta muhim nuqtaga ega: \(\left( {0,0} \right),\,\,\left( { - 2,2} \right),\,\,\left( {2,2} \right)\).

Bundan tashqari, keyingi bosqichga o'tishdan oldin, ushbu tizimni hal qilishning bir nechta usullari mavjudligini ta'kidlashimiz kerak. Siz ishlatgan jarayon biz bu erda ishlatgan jarayon bilan bir xil bo'lmasligi mumkin. Biroq, tizimni hal qilish uchun ishlatiladigan jarayondan qat'i nazar, echimlar har doim bir xil bo'lishi kerak.

Keyinchalik, bizga quyidagilar kerak bo'ladi:

\[D\left( {x,y} \right) = {f_{x\,x}}{f_{y\,y}} - {\left[ {{f_{x\,y}}} \right]^2} = \left[ {2\left( {y - 2} \right)} \right]\left[ { - 2} \right] - {\left[ {2x} \right]^2} = - 4\left( {y - 2} \right) - 4{x^2}\]

\(D\left( {x,y} \right)\) yordamida endi har bir muhim nuqtani quyidagicha tasniflashimiz mumkin.

\[\begin{align*} & \left( {0,0} \right) & : \hspace{0.25in} & D\left( {0,0} \right) = 8 > 0 \hspace{0.25in}{f_{x\,x}}\left( {0,0} \right) = - 4 < 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Relative Maximum}}\\ & \left( { - 2,2} \right) & :\hspace{0.25in} & D\left( { - 2,2} \right) = - 16 < 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Saddle Point}}\\ & \left( {2,2} \right) & :\hspace{0.25in} & D\left( {2,2} \right) = - 16 < 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{Saddle Point}}\end{align*}\]

Agar \(D\) ijobiy bo'lsa, \({f_{x\,x}}\) qiymatini tekshirishni unutmang, shunda biz to'g'ri tasnifni olamiz (i.e. maksimal yoki minimal) va shuningdek, salbiy \(D\) uchun biz ikkinchi tekshiruvga muhtoj emasmiz, chunki biz tanqidiy nuqta egar nuqtasi bo'lishini bilamiz.