Shunday qilib, biz bir nuqtada funktsiyaning ortib borayotgan/kamayuvchi xususiyatini aniqlamoqchimiz. Biz bilamizki, bu bizning asosiy hisob-kitob bilimimizdan olingan hosilani anglatadi. Shuningdek, muammo bayonotidan biz \(y\) sobit holatda bo'lganda \(x\) o'zgarishiga ruxsat berishni xohlayotganimizni bilamiz. Bu bizga \(x\) xususiy hosilasi kerak bo'lishini anglatadi.

\(x\) xususiy hosilasi va uning nuqtadagi qiymati:

\[{f_x}\left( {x,y} \right) = \ln \left( {4y} \right) + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^{ - \,\,\frac{1}{2}}}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{f_x}\left( { - 3,6} \right) = \ln \left( {24} \right) + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = 3.4667\]

Shunday qilib, biz \({f_x}\left( { - 3,6} \right) > 0\) va shunga o'xshash \(\left( { - 3,6} \right)\)-da \(x\)-ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(y\)-ni mahkam ushlab tursak, funktsiya ortib borishini ko'rishimiz mumkin.

Bu qism oldingi qism bilan deyarli bir xil. Yagona farq shundaki, bu erda biz \(y\) o'zgarishiga ruxsat beramiz va biz \(x\)ni o'zgarmagan holda ushlab turamiz. Bu bizga \(y\) xususiy hosilasi kerakligini anglatadi.

\(y\) xususiy hosilasi va uning nuqtadagi qiymati,

\[{f_y}\left( {x,y} \right) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^{ - \,\,\frac{1}{2}}}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}{f_y}\left( { - 3,6} \right) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = - 0.2113\]

Shunday qilib, biz \({f_y}\left( { - 3,6} \right) < 0\) va shunga o'xshash \(\left( { - 3,6} \right)\) da \(y\) ni o'zgartirishga ruxsat bersak va \(x\) ni o'zgarmagan holda ushlab tursak, funktsiya kamayadi.

E'tibor bering, ushbu funktsiya grafigining uch o'lchovli tabiati tufayli biz bir yo'nalishdagi funktsiyaning ortib borishi/kamayishi boshqa yo'nalishdagi kabi bo'lishini kuta olmaymiz!