12.5-bo'lim : Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari
7. Quyidagi funksiya uchun daraja egri chiziqlarini (yoki konturlarini) aniqlang va chizing.
\[{y^2} = 2{x^2} + z\]Yechim
Biz bilamizki, darajadagi egri chiziqlar yoki konturlar \(z = k\) o'rnatish orqali beriladi. Buni tenglamamizda bajarish,
\[{y^2} = 2{x^2} + k\]2-qadam
Ushbu muammo uchun \(k\) qiymati daraja egri chizig'ining grafik turiga ta'sir qiladi.
Birinchidan, agar \(k = 0\) tenglama bo'ladi,
\[{y^2} = 2{x^2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y = \pm \sqrt 2 \,\,x\]Shunday qilib, bu holda daraja egri chizig'i (agar bu haqda o'ylayotgan bo'lsangiz, aslida egri chiziqlar) kelib chiqishi bo'ylab ikki chiziq bo'ladi. Biri ortib bormoqda, ikkinchisi esa kamaymoqda.
Keyinchalik, agar \(k > 0\) bo'lsa, nima olishimizni ko'rib chiqaylik. Bunday holda, 2-bosqichdagi tenglamani tezda qayta yozish,
\[\frac{{{y^2}}}{k} - \frac{{2{x^2}}}{k} = 1\]Biz \(k\) musbat ekanligini bilganimiz uchun bizda \(y\) atamasi musbat atama va \(x\) atamasi manfiy atama bilan giperbola borligini ko‘ramiz. Bu shuni anglatadiki, giperbola \(y\) o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi va yuqoriga va pastga ochiladi.
Va nihoyat, agar \(k < 0\) bo'lsa, biz nima olamiz. Bu holda tenglama:
\[ - \frac{{2{x^2}}}{k} + \frac{{{y^2}}}{k} = 1\]Endi bu tenglama bilan ehtiyot bo'ling. Bunday holda biz \(k\) ning salbiy qiymatlariga egamiz. Bu \(x\) atamasi haqiqatda ijobiy ekanligini anglatadi (minus belgisi \(k\) da minus belgisiga qarshi bekor qilinadi). Xuddi shunday, \(y\) atamasi manfiy bo'ladi (maxrajda manfiy \(k\) mavjud). Shunday qilib, biz \(x\) o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan va o'ngga va chapga ochiladigan giperbolaga ega bo'lamiz.
3-qadam
Quyida ushbu funktsiya uchun \(k\) ning ba'zi qiymatlari uchun ba'zi darajadagi egri chiziqlarning eskizi keltirilgan.
