15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
9. \(f\left( {x,y} \right) = 9{x^2} + 4xy + 4\) ostida va \(xy\) tekisligida \(\left[ { - 1,1} \right] \times \left[ {0,2} \right]\) tomonidan berilgan to'g'ri to'rtburchak soha bo'yicha joylashgan hajmni aniqlang.
Yechim
Birinchidan, funksiyaning qisqacha chizmasi bilan boshlaylik.
![A three dimensional sketch of the surface \(f\left( {x,y} \right) = 9{x^2} + 4xy + 4\) drawn with a standard set of axes. The surface curves up towards the back left and the front right and dips down through the middle. The greenish rectangle drawn underneath it on the xy-plane is the region \(R\), the rectangle \(\left[ { - 1,1} \right] \times \left[ {0,2} \right]\).](/Solutions/CalcIII/IteratedIntegrals//Solutions/CalcIII/IteratedIntegrals/IteratedIntegrals_Files/image001.webp)
Sirt ostidagi yashil rangli to'rtburchaklar \(R\) muammo bayonotidan olingan bo'lib, sirt va \(R\) o'rtasidagi munosabatni tasavvur qilish uchun berilgan.
E'tibor bering, bu muammo uchun eskiz kerak emas. Muammo bizdan nimani talab qilayotganini his qilishimiz uchun aynan shu yerda. Bundan tashqari, eskiz sirtni "ko'rish" ga yordam beradigan ikkita usulda taqdim etiladi. Ba'zan "standart" o'qlar to'plami va "quti ramkasi" o'qlari to'plami bilan nima sodir bo'layotganini ko'rish osonroq.
Endi biz eslatmalardan bilamizki, hajm quyidagi tomonidan berilgan:
\[V = \iint\limits_{R}{{9{x^2} + 4xy + 4\,dA}}\]bu erda \(R\) - muammo bayonotida berilgan to'rtburchak.
2-qadam
Endi, ushbu bo'limdagi boshqa muammolarda bo'lgani kabi, biz integratsiya tartibini aniqlashimiz kerak. Bu holda ikkalasi o'rtasida unchalik farq yo'qdek tuyuladi, shuning uchun biz birinchi navbatda \(x\) ga nisbatan integratsiya qilamiz, chunki ular ko'proq va shuning uchun biz bu integratsiyadan keyin integralni biroz "soddalashtiramiz".
Mana \(x\) integratsiya ishi.
\[\begin{align*}V & = \iint\limits_{R}{{9{x^2} + 4xy + 4\,dA}}\\ & = \int_{0}^{2}{{\int_{{ - 1}}^{1}{{9{x^2} + 4xy + 4\,dx}}\,dy}} = \int_{0}^{2}{{\left. {\left( {3{x^3} + 2{x^2}y + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^1\,dy}} = \int_{0}^{2}{{14\,dy}}\end{align*}\]Bunday holda, \(y\) bilan bog'liq ikkinchi atama \(x\) chegaraviy baholashni amalga oshirishda aslida bekor qilinadi. Bu ba'zida sodir bo'ladi va biz bu sodir bo'lganda hayajonlanishimiz kerak bo'lgan narsa emas.
3-qadam
Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(y\) integratsiyasidir. Mana o'sha ish.
\[V = \int_{0}^{2}{{14\,dy}} = \left. {\left( {14y} \right)} \right|_0^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{28}}\]