15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
8. Ko‘rsatilgan to‘rtburchak ustida quyidagi ikki karrali integralni hisoblang.
\[\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dA}}\hspace{0.5in}R = \left[ {1,2} \right] \times \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right]\]Yechim
Integratsiya tartibi muammo bayonida ko'rsatilmagan, shuning uchun biz integratsiya tartibini tanlaymiz. Ushbu bo'limning birinchi bir nechta muammolarida muhokama qilganimizdek, bu juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin va bu muammolarda tartib haqiqatdan ham muhim emas edi. Ushbu muammolar uchun tanlangan buyurtma asosan kosmetik tanlov edi, ya'ni ikkala buyurtma ham deyarli bir xil qiyinchilik darajasiga ega edi.
Biroq, bu muammo bilan biz buyurtmalarda haqiqiy farqga egamiz. Agar biz \(y\) integratsiyasini amalga oshirsak, avval qismlar bo'yicha integratsiya qilishimiz kerak bo'ladi. Boshqa tomondan, \(x\) integratsiyasi juda oddiy Calculus I integratsiyasidir.
Shunday qilib, birinchi navbatda \(x\) bilan integratsiya qilish kerak bo'lgan yo'l kabi ko'rinadi. Mana, avval \(x\) integratsiyasini amalga oshirish uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dA}} = \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\int_{1}^{2}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dx}}\,dy}}\]2-qadam
OK, keling, \(x\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dA}} & = \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\int_{1}^{2}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2}y\cos \left( y \right) - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_1^2\,dy}} = \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\frac{3}{2}y\cos \left( y \right) - \frac{7}{3}\,dy}}\end{align*}\]E'tibor bering, bu misol uchun, avvalgisidan farqli o'laroq, qismlar bo'yicha integratsiya birinchi integratsiyani amalga oshirgandan so'ng yo'qolmadi. Ehtiyot bo'ling, birinchi integratsiyani amalga oshirgandan so'ng, qismlar bo'yicha integratsiya kabi narsalar shunchaki yo'q bo'lib ketishini kutmang. Ular ko'pincha bunday qilmaydi va aslida birinchi integratsiyadan keyin paydo bo'lishi mumkin!
3-qadam
Endi biz g'amxo'rlik qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - \(y\) integratsiyasi. Ta'kidlanganidek, bu birinchi muddat uchun qismlar bo'yicha integratsiya va shuning uchun qismlarga integratsiya qilishdan oldin biz integralni ajratishimiz kerak.
Mana bu muammo uchun ish.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( y \right) - {x^2}\,dA}} & = \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\frac{3}{2}y\cos \left( y \right)\,dy}} - \int_{{\frac{\pi }{2}}}^{\pi }{{\frac{7}{3}\,dy}}\hspace{0.25in}u = \frac{3}{2}y\,\,\,\,\,\,\,\,dv = \cos \left( y \right)dy\\ & = \left. {\left( {\frac{3}{2}y\sin \left( y \right) + \frac{3}{2}\cos \left( y \right) - \frac{7}{3}y} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi \\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{3}{2} - \frac{{23}}{{12}}\pi = - 7.5214}}\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(u\) va \(dv\)-ni qismlarga integratsiya qilish uchun berdik, ammo natijani tekshirish uchun tafsilotlarni sizga qoldiramiz.