15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
7. Ko‘rsatilgan to‘rtburchak ustida quyidagi ikki karrali integralni hisoblang.
\[\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dA}}\hspace{0.5in}R = \left[ { - 2,3} \right] \times \left[ { - 1,1} \right]\]Yechim
Integratsiya tartibi muammo bayonida ko'rsatilmagan, shuning uchun biz integratsiya tartibini tanlaymiz. Ushbu bo'limning birinchi bir nechta muammolarida muhokama qilganimizdek, bu juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin va bu muammolarda tartib haqiqatdan ham muhim emas edi. Ushbu muammolar uchun tanlangan buyurtma asosan kosmetik tanlov edi, ya'ni ikkala buyurtma ham deyarli bir xil qiyinchilik darajasiga ega edi.
Biroq, bu muammo bilan biz buyurtmalarda haqiqiy farqga egamiz. Agar biz \(y\) integratsiyasini amalga oshirsak, avval qismlar bo'yicha integratsiya qilishimiz kerak bo'ladi. Boshqa tomondan, agar biz \(x\) ni birinchi bo'lib bajarsak, faqat Hisob I o'rnini bosishimiz kerak, bu qismlar bo'yicha integratsiyadan ko'ra deyarli har doim osonroq/tezroqdir. Buning ustiga, agar almashtirish qanday davom etishi haqida o‘ylab ko‘rsangiz, almashtirish amalga oshirilgandan so‘ng biz \(y\) uchun qismlar bo‘yicha integratsiyani ham yo‘qotib qo‘yganga o‘xshaymiz (agar buni ko‘rmasangiz, tashvishlanmang, oxir-oqibatda yetarlicha mashq qilasiz).
Shunday qilib, birinchi navbatda \(x\) bilan integratsiya qilish kerak bo'ladi. Mana, avval \(x\) integratsiyasini amalga oshirish uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dA}} = \int_{{ - 1}}^{1}{{\int_{{ - 2}}^{3}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dx}}\,dy}}\]2-qadam
OK, keling, \(x\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dA}} & = \int_{{ - 1}}^{1}{{\int_{{ - 2}}^{3}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dx}}\,dy}}\hspace{0.5in}u = y{x^2}\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,du = 2yx\,dx\\ & = \int_{{ - 1}}^{1}{{\left. {\left( {\frac{1}{2}\sin \left( {y\,{x^2}} \right)} \right)} \right|_{ - 2}^3\,dy}} = \int_{{ - 1}}^{1}{{\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {9y} \right) - \sin \left( {4y} \right)} \right)\,dy}}\end{align*}\]Shunday qilib, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, almashtirishni amalga oshirishda biz nafaqat kosinus oldida \(x\) ni yo'qotdik, balki \(y\) ni ham yo'qotdik va bu o'z navbatida \(y\) integrali uchun qismlar bo'yicha integratsiya qilishimiz shart emasligini anglatadi.
Shunday qilib, bu holda \(x\) integratsiyasini amalga oshirish birinchi navbatda \(y\) integratsiyasining qismlari bilan integratsiyani muammodan butunlay yo'q qildi. Bu har doim ham sodir bo'lmaydi, lekin bu sodir bo'lganda, biz undan foydalanamiz va bo'lmasa, biz xohlaymizmi yoki yo'qmi, qismlarga integratsiyani amalga oshiramiz.
3-qadam
Endi biz faqat \(y\) integratsiyasi haqida g'amxo'rlik qilishimiz kerak va bu faqat bir nechta oddiy almashtirishlar bilan Integral hisob-kitob (almashtirish ishini tekshirish uchun sizga qoldiramiz). Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{xy\cos \left( {y\,{x^2}} \right)\,dA}} & = \int_{{ - 1}}^{1}{{\frac{1}{2}\left( {\sin \left( {9y} \right) - \sin \left( {4y} \right)} \right)\,dy}}\\ & = \frac{1}{2}\left. {\left( {\frac{1}{4}\cos \left( {4y} \right) - \frac{1}{9}\cos \left( {9y} \right)} \right)} \right|_{ - 1}^1\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{4}\left( {\cos \left( 4 \right) - \cos \left( { - 4} \right)} \right) - \frac{1}{9}\left( {\cos \left( 9 \right) - \cos \left( { - 9} \right)} \right)} \right] = 0}}\end{align*}\]Eslatib o'tamiz, kosinus teng funktsiyadir va shuning uchun \(\cos \left( { - \theta } \right) = \cos \left( \theta \right)\)!