15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
6. Ko‘rsatilgan to‘rtburchak ustida quyidagi ikki karrali integralni hisoblang.
\[\iint\limits_{R}{{x{y^2}\,\sqrt {{x^2} + {y^3}} \,dA}}\hspace{0.5in}R = \left[ {0,3} \right] \times \left[ {0,2} \right]\]Yechim
Integratsiya tartibi muammo bayonida ko'rsatilmagan, shuning uchun biz integratsiya tartibini tanlaymiz. Ushbu bo'limning birinchi bir nechta muammolarida muhokama qilganimizdek, bu juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin va bu muammolarda tartib haqiqatdan ham muhim emas edi. Ushbu muammolar uchun tanlangan buyurtma asosan kosmetik tanlov edi, ya'ni ikkala buyurtma ham deyarli bir xil qiyinchilik darajasiga ega edi.
Ushbu muammo bilan tartib hali ham unchalik muhim emas, chunki ikkalasi ham almashtirishni talab qiladi. Biroq, agar biz avval \(y\) almashtirishni amalga oshirsak, integralni biroz soddalashtirishimiz mumkin, chunki bu ildiz oldidagi \({y^2}\) ni yo'q qiladi. Albatta, \(x\) almashtirish \(x\)-ni ildiz oldida yo'q qilgan bo'lardi, shuning uchun biz biroz soddalashtirishga erishamiz, ammo \(y\) integratsiyasi biroz soddalashtirishni taklif qilganga o'xshaydi.
Shunday qilib, avval \(y\) integratsiyasini amalga oshirish uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{R}{{x{y^2}\,\sqrt {{x^2} + {y^3}} \,dA}} = \int_{0}^{3}{{\int_{0}^{2}{{x{y^2}\,\sqrt {{x^2} + {y^3}} \,dy}}\,dx}}\]2-qadam
OK, keling, \(y\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{x{y^2}\,\sqrt {{x^2} + {y^3}} \,dA}} & = \int_{0}^{3}{{\int_{0}^{2}{{x{y^2}\,{{\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}\,dy}}\,dx}}\hspace{0.5in}u = {x^2} + {y^3}\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\,du = 3{y^2}\,dy\\ & = \int_{0}^{3}{{\left. {\left( {\frac{2}{9}x{{\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^2\,dx}} = \int_{0}^{3}{{\frac{2}{9}x{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{9}{x^4}\,dx}}\end{align*}\]Shuni yodda tutingki, biz ushbu bosqichda \(y\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli, biz barcha \(x\) larga doimiy bo'lgandek munosabatda bo'lamiz va biz integrallarda doimiylar bilan qanday ishlashni bilamiz.
Birinchi integratsiyada almashtirishlar bilan ehtiyot bo'ling. Biz yuqorida qo'llagan almashtirishni ham, differentsialni ham ko'rsatdik. Differensialni hisoblashda biz \(y\) ga nisbatan almashtirishning o'ng tomonini farqlashimiz kerak (chunki biz \(y\) integratsiyasini amalga oshirmoqdamiz). Boshqacha qilib aytganda, biz o'ng tomonning xususiy hosilasini qilishimiz kerak va shuning uchun \({x^2}\) \(y\)ga nisbatan farqlashda nolga farqlanadi!
Bu yerda talabalar qiladigan katta xatolardan biri \({x^2}\) ni differensialda qoldirish yoki uni “2\(x\)” ga “differensiyalash” bo‘lib, bu o‘z navbatida almashtirishning ishlamasligiga olib keladi, chunki ildiz oldidagi \({y^2}\) dan qutulishning iloji yo‘q.
Ushbu bosqichda Hisob I o'zgartirishlar bilan bog'liq xatolar talabalar bunday integrallarni birinchi marta bajarishda duch keladigan eng katta muammolardan biridir, shuning uchun siz juda ehtiyot bo'lishingiz va har doim qaysi o'zgaruvchiga nisbatan integrallashayotganingizga e'tibor berishingiz va keyin bir xil o'zgaruvchiga nisbatan almashtirishingizni farqlashingiz kerak.
3-qadam
Endi biz faqat \(x\) integratsiyasi haqida g'amxo'rlik qilishimiz kerak va bu oddiy almashtirish bilan hisob-kitob I integralidir (almashtirish ishini tekshirishni sizga qoldiramiz). Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{x{y^2}\,\sqrt {{x^2} + {y^3}} \,dA}} & = \int_{0}^{3}{{\frac{2}{9}x{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{9}{x^4}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{2}{{45}}{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{{45}}{x^5}} \right)} \right|_0^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{2}{{45}}\left( {{{17}^{\frac{5}{2}}} - 243 - 128\sqrt 2 } \right) = 34.1137}}\end{align*}\]"Charqora" javoblardan hayajonlanmang. Bunday muammolar bilan ular muntazam ravishda sodir bo'ladi. Bunday hollarda, biz bu erda qilganimizdek, hamma narsani o'nli kasrga qisqartirish osonroq bo'lishi mumkin.