15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
2. Ko‘rsatilgan to‘rtburchak ustida quyidagi ikki karrali integralni hisoblang.
\[\iint\limits_{R}{{6y\sqrt x - 2{y^3}\,dA}}\hspace{0.5in}R = \left[ {1,4} \right] \times \left[ {0,3} \right]\]Yechim
Integratsiya tartibi muammo bayonida ko'rsatilmagan, shuning uchun biz integratsiya tartibini tanlaymiz. Buyurtma yakuniy javobga ta'sir qilmasligini bilamiz, shuning uchun qaysi tartibni ishlatishga qaror qilishimiz muhim emas.
Ko'pincha integratsiya buyurtmalaridan biri boshqasidan osonroq bo'ladi va shuning uchun buyurtma tanlashda buni yodda tutishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, ko'pincha har bir buyurtma boshqa buyurtma kabi oson/qiyin bo'ladi va shuning uchun bunday hollarda buyurtma unchalik muhim bo'lmaydi. Albatta, integrallar ham bo'ladi, unda integratsiya tartiblaridan birini hisoblash imkonsiz bo'ladi, lekin imkonsiz bo'lsa ham, shuning uchun sizda bunday hollarda buyurtmalarni tanlash imkoniyati bo'lmaydi.
Yuqorida muhokama qilingan barcha imkoniyatlarni hisobga olgan holda, integratsiya tartibi to'g'risida qaror qabul qilishingiz kerak bo'lganda, bu juda qo'rqinchli ko'rinishi mumkin. Umuman olganda, bu ko'rinadigan darajada yomon emas. Integratsiya tartibini tanlashda integralni ko'rib chiqing va har bir buyurtma uchun nima qilish kerakligini o'ylab ko'ring va birinchi navbatda g'amxo'rlik qilish osonroq bo'lishi mumkin bo'lgan bitta buyurtma bor-yo'qligini bilib oling yoki natijada javob ikkinchi integratsiyani biroz osonlashtiradi.
Ba'zan muammoni hal qilmaguningizcha, qaysi tartib eng oson bo'lishi aniq bo'lmaydi. Bunday hollarda siz qila oladigan yagona narsa bu faqat bitta buyurtma bilan boshlash va bu qanday ketayotganini ko'rish. Agar bu juda qiyinlasha boshlasa, har doim orqaga qaytib, boshqa buyurtma berish osonroq yoki yo'qligini bilish uchun harakat qilib ko'rishingiz mumkin.
Integratsiyada qanchalik yaxshi bo'lsangiz, integratsiya tartibini tanlash shunchalik oson/tezroq bo'ladi. Agar siz integratsiyada chindan ham zanglagan bo'lsangiz va/yoki siz Calculus I-da hamma narsani o'rganmagan bo'lsangiz, ehtimol siz Calculus I materialiga qaytib, integratsiya qobiliyatingizni biroz mashq qilishingiz kerak. Agar sizda Calculus I ko'nikmalari yaxshi bo'lsa, bir nechta integrallar bilan ishlash osonroq bo'ladi.
Integratsiya tartibini tanlash bo'yicha yakuniy eslatma sifatida esda tutingki, integrallarning aksariyati uchun bu mavjud emas. to'g'ri buyurtma tanlash. Bir nechta integrallar mavjud bo'lib, ularda birinchi navbatda bitta tartibni bajarish imkonsiz yoki juda qiyin bo'ladi. Biroq, ko'p hollarda, har ikkala buyurtma birinchi bo'lib bajarilishi mumkin va qaysi buyurtma eng oson ekanligi ko'pincha talqin qilish masalasidir, shuning uchun bu erda bizdan boshqa buyurtma qilishni tanlagan bo'lsangiz, tashvishlanmang. Barcha ishni to'g'ri bajarsangiz, buyurtma qanday bo'lishidan qat'iy nazar, siz hali ham bir xil javob olasiz.
Bunday holda, ikkala buyruq ham unchalik qiyin emasdek ko'rinadi, shuning uchun keling, birinchi navbatda \(x\) bilan birlashaylik, bu bizga ildizdan darhol xalos bo'lishga imkon beradi.
Shunday qilib, avval \(x\) integratsiyasini amalga oshirish uchun o'rnatilgan integral.
\[\iint\limits_{R}{{6y\sqrt x - 2{y^3}\,dA}} = \int_{0}^{3}{{\int_{1}^{4}{{6y{x^{\,\frac{1}{2}}} - 2{y^3}\,dx}}\,dy}}\]Esda tutingki, birinchi integratsiya har doim "ichki" integral, ikkinchisi esa har doim "tashqi" integraldir.
Integralni yozishda differentsiallarni unutmang! Ko'pgina talabalar Hisob-kitob I kursini o'qishga qo'ymaslik yomon odati bilan chiqib ketishadi. Ammo bu paytda bu sizni muammoga duchor qiladi. Siz har bir integralga nisbatan qaysi o'zgaruvchini integrallashayotganimizni eslab qolishingiz kerak va differentsiallar bizga buni aytadi, shuning uchun ular haqida unutmang.
Bundan tashqari, chegaralar haqida unutmang va ular to'g'ri integralga biriktirilganligiga ishonch hosil qiling. Bu holda \(x\) integratsiyasi birinchi bo'lib, shuning uchun \(x\) chegaralari ichki integralga, \(y\) chegaralari esa tashqariga integralga o'tishi kerak. Shoshilib, ularni noto'g'ri integralga qo'yish oson.
2-qadam
OK, keling, \(x\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{6y\sqrt x - 2{y^3}\,dA}} & = \int_{0}^{3}{{\int_{1}^{4}{{6y{x^{\,\frac{1}{2}}} - 2{y^3}\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{0}^{3}{{\left. {\left( {4y{x^{\,\frac{3}{2}}} - 2x{y^3}} \right)} \right|_1^4\,dy}} = \int_{0}^{3}{{28y - 6{y^3}\,dy}}\end{align*}\]Shuni yodda tutingki, biz ushbu bosqichda \(x\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli, biz barcha \(y\) larga doimiy bo'lgandek munosabatda bo'lamiz va biz integrallarda doimiylar bilan qanday ishlashni bilamiz.
E'tibor bering, biz siz baholashni amalga oshirishga qodirsiz deb o'ylaymiz va shuning uchun bu muammoda ishni ko'rsatmadingiz va bu erda hech qanday muammo bo'lmasa, uni kamdan-kam hollarda ko'rsatamiz.
3-qadam
Endi biz faqat \(y\) integratsiyasi haqida g'amxo'rlik qilishimiz kerak va bu oddiy Calculus I integrali. Mana o'sha ish.
\[\iint\limits_{R}{{6y\sqrt x - 2{y^3}\,dA}} = \int_{0}^{3}{{28y - 6{y^3}\,dy}} = \left. {\left( {14{y^2} - \frac{3}{2}{y^4}} \right)} \right|_0^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{9}{2}}}\]