15.2-bo'lim : Takroriy integrallar
1. Ko‘rsatilgan to‘rtburchak ustida quyidagi ikki karrali integralni hisoblang (a) birinchi \(x\) ga nisbatan integratsiyalash orqali va (b) avval \(y\) ga nisbatan integratsiyalash orqali.
\[\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}}\hspace{0.5in}R = \left[ { - 1,4} \right] \times \left[ {2,3} \right]\] a Avval \(x\) ga integratsiyalashgan holda baholang.Yechim
Integralni muammo bayonotida berilgan tartibda bajarishdan tashqari, bu masalani hal qilish juda ko'p emas.
Keling, avval to'g'ri integratsiya tartibi bilan integralni o'rnatamiz.
\[\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{2}^{3}{{\int_{{ - 1}}^{4}{{12x - 18y\,dx}}\,dy}}\]Esda tutingki, birinchi integratsiya har doim "ichki" integral, ikkinchisi esa har doim "tashqi" integraldir.
Integralni yozishda differentsiallarni unutmang! Ko'pgina talabalar Hisob-kitob I kursini o'qishga qo'ymaslik yomon odati bilan chiqib ketishadi. Ammo bu paytda bu sizni muammoga duchor qiladi. Siz har bir integralga nisbatan qaysi o'zgaruvchini integrallashayotganimizni eslab qolishingiz kerak va differentsiallar bizga buni aytadi, shuning uchun ular haqida unutmang.
Bundan tashqari, chegaralar haqida unutmang va ular to'g'ri integralga biriktirilganligiga ishonch hosil qiling. Bu holda \(x\) integratsiyasi birinchi bo'lib, shuning uchun \(x\) chegaralari ichki integralga, \(y\) chegaralari esa tashqi integralga o'tishi kerak. Shoshilib, ularni noto'g'ri integralga qo'yish oson.
2-qadam
OK, keling, \(x\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{2}^{3}{{\int_{{ - 1}}^{4}{{12x - 18y\,dx}}\,dy}}\\ & = \int_{2}^{3}{{\left. {\left( {6{x^2} - 18xy} \right)} \right|_{ - 1}^4\,dy}} = \int_{2}^{3}{{90 - 90y\,dy}}\end{align*}\]Shuni yodda tutingki, biz ushbu bosqichda \(x\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli, biz barcha \(y\) larni doimiy bo'lgandek ko'rib chiqamiz va biz integrallarda konstantalar bilan qanday ishlashni bilamiz.
E'tibor bering, biz siz baholashni amalga oshirishga qodirsiz deb o'ylaymiz va shuning uchun bu muammoda ishni ko'rsatmadingiz va bu erda hech qanday muammo bo'lmasa, uni kamdan-kam hollarda ko'rsatamiz.
3-qadam
Endi biz \(y\) integratsiyasida g'amxo'rlik qilishimiz kerak bo'lgan narsa va bu oddiy Hisob I integrali. Mana o'sha ish.
\[\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{2}^{3}{{90 - 90y\,dy}} = \left. {\left( {90y - 45{y^2}} \right)} \right|_2^3 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 135}}\]b Avval \(y\) ga integratsiyalashgan holda baholang.
Yechim
Integralni muammo bayonotida berilgan tartibda bajarishdan tashqari, bu masalani hal qilish juda ko'p emas.
Keling, avval to'g'ri integratsiya tartibi bilan integralni o'rnatamiz.
\[\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{{ - 1}}^{4}{{\int_{2}^{3}{{12x - 18y\,dy}}\,dx}}\]Esda tutingki, birinchi integratsiya har doim "ichki" integral, ikkinchisi esa har doim "tashqi" integraldir.
Integralni yozishda differentsiallarni unutmang! Ko'pgina talabalar Hisob-kitob I kursini o'qishga qo'ymaslik yomon odati bilan chiqib ketishadi. Ammo bu paytda bu sizni muammoga duchor qiladi. Mushtga nisbatan qaysi o'zgaruvchini birlashtirganimizni eslab qolishingiz kerak va differentsiallar bizga buni aytadi, shuning uchun ular haqida unutmang.
Bundan tashqari, chegaralar haqida unutmang va ular to'g'ri integralga biriktirilganligiga ishonch hosil qiling. Bu holda \(y\) integratsiyasi birinchi bo'lib, shuning uchun \(y\) chegaralari ichki integralga, \(x\) chegaralari esa tashqi integralga o'tishi kerak. Shoshilib, ularni noto'g'ri integralga qo'yish oson.
2-qadam
OK, keling, \(y\) integratsiyasini hozir qilaylik.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{{ - 1}}^{4}{{\int_{2}^{3}{{12x - 18y\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{{ - 1}}^{4}{{\left. {\left( {12xy - 9{y^2}} \right)} \right|_2^3\,dx}} = \int_{{ - 1}}^{4}{{12x - 45\,dx}}\end{align*}\]Shuni yodda tutingki, biz ushbu bosqichda \(y\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli, biz barcha \(x\) larga doimiy bo'lgandek munosabatda bo'lamiz va biz integrallarda konstantalar bilan qanday ishlashni bilamiz.
E'tibor bering, biz siz baholashni amalga oshirishga qodirsiz deb o'ylaymiz va shuning uchun bu muammoda ishni ko'rsatmadingiz va bu erda hech qanday muammo bo'lmasa, uni kamdan-kam hollarda ko'rsatamiz.
3-qadam
Endi biz \(x\) integratsiyasida g'amxo'rlik qilishimiz kerak bo'lgan narsa va bu oddiy Hisob I integrali. Mana o'sha ish.
\[\iint\limits_{R}{{12x - 18y\,dA}} = \int_{{ - 1}}^{4}{{12x - 45\,dx}} = \left. {\left( {6{x^2} - 45x} \right)} \right|_{ - 1}^4 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 135}}\]Kimdan kelgan bilan bir xil javob (a) bu, albatta, biz kutishimiz kerak bo'lgan narsadir. Integratsiya tartibi javobni o'zgartirmaydi. Bitta buyurtma boshqasiga qaraganda osonroq/oddiyroq bo'lishi mumkin, ammo yakuniy javob buyurtmadan qat'iy nazar har doim bir xil bo'ladi.