12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
8. \(3x + 6y - 5z = - 3\) va \( - 2x + 7y - z = 24\) tomonidan berilgan tekislikning kesishish chizig‘ini toping.
Yechim
Yaxshi, bilamizki, chiziq tenglamasini yozish uchun bizga chiziqqa parallel nuqta va vektor kerak. Bu holatda ham bizga berilmagan.
Avval shuni ta'kidlaymizki, kesishish chizig'idagi har qanday nuqta ham ikkala tekislikda bo'lishi kerak va bunday nuqtani topish juda oddiy. Bizning kesishish chizig'imiz qanday bo'lishidan qat'i nazar, u koordinata tekisliklaridan kamida bittasini kesishi kerak. U uchta koordinata tekisligini kesishi shart emas, lekin kamida bittasini kesishi kerak.
Shunday qilib, keling, u \(xy\) tekisligi bilan kesishadimi yoki yo'qligini bilib olaylik. Kesishish chizig'idagi nuqta ham ikkala tekislikda bo'lishi kerakligi sababli, keling, ikkala tekislik tenglamalarida \(z = 0\) (shuning uchun biz \(xy\) tekisligida bo'lamiz!) ni o'rnatamiz.
Shunday qilib,
\[\begin{align*}3x + 6y & = - 3\\ - 2x + 7y & = 24\end{align*}\]2-qadam
Bu hal qilish uchun oddiy tizim, shuning uchun biz uni yechim ekanligini tekshirishni sizga qoldiramiz,
\[x = - 5\hspace{0.5in}\,\,\,\,y = 2\]Biz 1-bosqichdan boshlab tizimning yechimini topa olganimiz shuni anglatadiki, kesishish chizig'i aslida \(xy\) tekisligi bilan kesishadi va u buni \(\left( { - 5,2,0} \right)\) nuqtasida qiladi. Bu shuningdek, kesishish chizig'idagi nuqtadir.
E'tibor bering, agar 1-bosqichdagi tizim yechimga ega bo'lmasa, kesishish chizig'i \(xy\) tekisligini kesib o'tmagan bo'lardi va biz qolgan koordinata tekisliklaridan birini sinab ko'rishimiz kerak edi.
3-qadam
OK, endi bizga kesishish chizig'iga parallel vektor kerak. Buni tasavvur qilish biroz qiyin bo'lishi mumkin, lekin agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, kesishish chizig'i ikkala tekislikdagi normal vektorlarning ikkalasiga ortogonal bo'lishi kerak. Bu o'z navbatida ikkita normal vektorga ortogonal bo'lgan har qanday vektor kesishish chizig'iga parallel bo'lishi kerakligini anglatadi.
Yaxshiyamki, biz har qanday ikkita vektorning o'zaro mahsuloti ikkala vektorning har biriga ortogonal bo'lishini bilamiz. Shunday qilib, bu erda samolyotlarimiz uchun ikkita normal vektor va ularning o'zaro mahsuloti.
\[{\vec n_1} = \left\langle {3,6, - 5} \right\rangle \hspace{0.75in}{\vec n_2} = \left\langle { - 2,7, - 1} \right\rangle \] \[\begin{align*}{{\vec n}_1} \times {{\vec n}_2} & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\3&6&{ - 5}\\{ - 2}&7&{ - 1}\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\3&6\\{ - 2}&7\end{array}\\ & = - 6\vec i + 10\vec j + 21\vec k - \left( { - 3\vec j} \right) - \left( { - 35\vec i} \right) - \left( { - 12\vec k} \right) = 29\vec i + 13\vec j + 33\vec k\end{align*}\]E'tibor bering, biz bu erda o'zaro mahsulotni hisoblash uchun eslatmalarda muhokama qilingan "hiyla" dan foydalanganmiz.
4-qadam
Demak, endi ikkita tekislikning kesishish chizig‘i tenglamasini yozish uchun yetarli ma’lumotlarga egamiz. Tenglama,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\vec r\left( t \right) = \left\langle { - 5,2,0} \right\rangle + t\left\langle {29,13,33} \right\rangle = \left\langle { - 5 + 29t,2 + 13t,33t} \right\rangle }}\]