12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
6. \(\vec r\left( t \right) = \left\langle { - 2t,2 + 7t, - 1 - 4t} \right\rangle \) tomonidan berilgan chiziq \(4x + 9y - 2z = - 8\) tomonidan berilgan tekislik bilan kesishishini aniqlang yoki ularning kesishmasligini ko'rsating.
Yechim
Agar chiziq va tekislik kesishsa, \(t\) qiymati bo'lishi kerak, agar biz ushbu \(t\) ni chiziq tenglamasiga qo'shsak, tekislikda joylashgan nuqtaga ega bo'lamiz. Biz shuni ham bilamizki, agar \(\left( {x,y,z} \right)\) nuqta tekislikda bo'lsa, u holda koordinatalar tekislik tenglamasini qanoatlantiradi.
2-qadam
Agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, chiziqdagi barcha nuqtalarning koordinatalarini quyidagicha yozish mumkin:
\[\left( { - 2t,2 + 7t, - 1 - 4t} \right)\]\(t\) ning barcha qiymatlari uchun.
3-qadam
Shunday qilib, keling, chiziqdagi nuqtalarning "koordinatalarini" tekislik tenglamasiga kiritamiz:
\[4\left( { - 2t} \right) + 9\left( {2 + 7t} \right) - 2\left( { - 1 - 4t} \right) = - 8\]4-qadam
Keling, buni \(t\) uchun quyidagicha hal qilaylik,
\[63t + 20 = - 8\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}t = - \frac{4}{9}\]5-qadam
Biz ushbu tenglamadan \(t\) ni topa oldik. Bu shuni anglatadiki, bu \(t\) qiymati bo'lib, chiziq tenglamasiga ulanganimizdan so'ng, chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini beradi.
Shunday qilib, chiziq va tekislik kesishadi va ular \(\left( {\frac{8}{9}, - \frac{{10}}{9},\frac{7}{9}} \right)\) nuqtada kesishadi.
Shuni yodda tutingki, biz 2-bosqichda yozgan chiziqdagi nuqtalar uchun umumiy shaklga \(t = - \frac{4}{9}\)-ni ulashimiz kerak.