12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
5. \( - 3x + 2y + 7z = 9\) tomonidan berilgan tekislik va \(\left( { - 2,6,1} \right)\), \(\left( { - 2,5,0} \right)\) va \(\left( { - 1,4, - 3} \right)\) nuqtalari joylashgan tekislik parallel, ortogonal yoki hech biri emasligini aniqlang.
Yechim
Keling, ushbu masalani \({\vec n_1} = \left\langle { - 3,2,7} \right\rangle \) vektori birinchi tekislik uchun normal bo'lishini va ikkinchi tekislik uchun normal vektorga ega bo'lish yaxshi bo'lardi.
Biz bilamiz (bu bo'limdan 1-muammo!) tekislikda uchta nuqta berilgan normal vektorni qanday aniqlash mumkin. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}P & = \left( { - 2,6,1} \right) & \hspace{0.5in} Q & = \left( { - 2,5,0} \right) & \hspace{0.5in}R & = \left( { - 1,4, - 3} \right)\\ \overrightarrow {QP} & = \left\langle {0,1,1} \right\rangle & \hspace{0.5in} \overrightarrow {RQ} & = \left\langle { - 1,1,3} \right\rangle & & \end{align*}\] \[{\vec n_2} = \overrightarrow {QP} \times \overrightarrow {RQ} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\0&1&1\\{ - 1}&1&3\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\0&1\\{ - 1}&1\end{array} = 3\vec i - \vec j - \vec i - \left( { - \vec k} \right) = 2\vec i - \vec j + \vec k\]E'tibor bering, biz bu erda o'zaro mahsulotni hisoblash uchun eslatmalarda muhokama qilingan "hiyla" dan foydalanganmiz.
Endi ikkita tekislikni va bu normal vektorlarni tasavvur qilishga harakat qiling. Agar ikkita normal vektor bir-biriga parallel bo'lsa, ikkala tekislik qanday ko'rinishga ega bo'ladi? Agar ikkita normal vektor bir-biriga ortogonal bo'lsa, ikkita tekislik qanday ko'rinishga ega bo'lar edi?
2-qadam
Agar ikkita normal vektor bir-biriga parallel bo'lsa, ikkala tekislik ham parallel bo'lishi kerak.
Shunday qilib, oddiy vektorlarni tez ko'rib chiqaylik. Har bir vektorning uchinchi komponenti bir xil, birinchi va ikkinchi komponentlarning har biri qarama-qarshi belgilarga ega ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Shuning uchun biz \({\vec n_1}\) ga ko'paytiradigan raqam yo'q, bu uchinchi komponentdagi belgini bir xil ushlab turadigan va bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi komponentlardagi belgini o'zgartiradi. Bu o'z navbatida ikkita vektor skalyar ko'paytma bo'lishi mumkin emasligini anglatadi va bu ularning parallel bo'lishi mumkin emasligini anglatadi.
Agar ikkita normal vektor parallel bo'lmasa ikki tekislik parallel emas.
3-qadam
Endi, agar ikkita normal vektor ortogonal bo'lsa, ikkala tekislik ham ortogonal bo'ladi.
Shunday qilib, ikkita normal vektorning tez nuqta mahsuloti beradi,
\[{\vec n_1}\centerdot {\vec n_2} = - 1\]Nuqta mahsuloti nolga teng emas va shuning uchun ikkita normal vektor ortogonal emas. Shuning uchun, ikki tekislik ortogonal emas.