12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
4. \(4x - 9y - z = 2\) tomonidan berilgan tekislik va \(x + 2y - 14z = - 6\) tomonidan berilgan tekislik parallel, ortogonal yoki hech biri emasligini aniqlang.
Yechim
Keling, ushbu masalani \({\vec n_1} = \left\langle {4, - 9, - 1} \right\rangle \) vektori birinchi tekislik uchun normal bo'lishini va \({\vec n_2} = \left\langle {1,2, - 14} \right\rangle \) vektori ikkinchi tekislik uchun normal bo'lishiga e'tibor berishdan boshlaylik.
Endi ikkita tekislikni va bu normal vektorlarni tasavvur qilishga harakat qiling. Agar ikkita normal vektor bir-biriga parallel bo'lsa, ikkita tekislik qanday ko'rinishga ega bo'lar edi? Agar ikkita normal vektor bir-biriga ortogonal bo'lsa, ikkita tekislik qanday ko'rinishga ega bo'lar edi?
2-qadam
Agar ikkita normal vektor bir-biriga parallel bo'lsa, ikkala tekislik ham parallel bo'lishi kerak.
Shunday qilib, oddiy vektorlarni tez ko'rib chiqaylik. Har bir vektorning birinchi komponenti bir xil belgiga ega ekanligini va uchinchi komponent uchun ham xuddi shunday deyish mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Biroq, har bir vektorning ikkinchi komponenti qarama-qarshi belgilarga ega.
Shunday qilib, biz \({\vec n_1}\) ga ko'paytiradigan raqam yo'q, bu birinchi va uchinchi komponentdagi belgini bir xil ushlab turadigan va bir vaqtning o'zida ikkinchi komponentdagi belgini o'zgartiradi. Bu o'z navbatida ikkita vektor skalyar ko'paytma bo'lishi mumkin emasligini anglatadi va bu ularning parallel bo'lishi mumkin emasligini anglatadi.
Agar ikkita normal vektor parallel bo'lmasa ikki tekislik parallel emas.
3-qadam
Endi, agar ikkita normal vektor ortogonal bo'lsa, ikkala tekislik ham ortogonal bo'ladi.
Shunday qilib, ikkita normal vektorning tez nuqta mahsuloti beradi,
\[{\vec n_1}\centerdot {\vec n_2} = 0\]Nuqta mahsuloti nolga teng va shuning uchun ikkita normal vektor ortogonaldir. Shuning uchun, ikki tekislik ortogonaldir.