12.3-bo'lim : Tekislik tenglamalari
1. \(\left( {4, - 3,1} \right)\), \(\left( { - 3, - 1,1} \right)\) va \(\left( {4, - 2,8} \right)\) nuqtalarini o'z ichiga olgan tekislik tenglamasini yozing.
Yechim
Ushbu muammo ustida ishlashni biroz osonlashtirish uchun keling, fikrlarni quyidagicha nomlaymiz:
\[P = \left( {4, - 3,1} \right)\hspace{0.5in}Q = \left( { - 3, - 1,1} \right)\hspace{0.5in}R = \left( {4, - 2,8} \right)\]Endi bilamizki, tekislik tenglamasini yozish uchun bizga nuqta kerak (bizda uchta nuqta bor, shuning uchun bu muammo emas!) va tekislikka normal bo'lgan vektor.
2-qadam
Oddiy vektorni olish uchun biz biroz ish qilishimiz kerak.
Birinchidan, bizga tekislikda yotadigan ikkita vektor kerak bo'ladi va biz ularni uchta nuqtadan olishimiz mumkin. E'tibor bering, biz bu erda foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab vektorlar mavjud. Mana, biz ushbu muammoni hal qilishda foydalanamiz.
\[\overrightarrow {PQ} = \left\langle { - 7,2,0} \right\rangle \hspace{0.75in}\overrightarrow {PR} = \left\langle {0,1,7} \right\rangle \]3-qadam
Endi bu ikki vektor tekislikda yotadi va biz bilamizki, har qanday ikkita vektorning oʻzaro koʻpaytmasi ikkala vektorga ortogonal boʻladi. Shuning uchun, bu ikki vektorning o'zaro ko'paytmasi ham tekislikka ortogonal (va shuning uchun normal!) bo'ladi.
Shunday qilib, keling, o'zaro faoliyat mahsulotini olaylik.
\[\vec n = \overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ - 7}&2&0\\0&1&7\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\{ - 7}&2\\0&1\end{array} = 14\vec i - 7\vec k - \left( { - 49\vec j} \right) = 14\vec i + 49\vec j - 7\vec k\]E'tibor bering, biz bu erda o'zaro mahsulotni hisoblash uchun eslatmalarda muhokama qilingan "hiyla" dan foydalanganmiz.
4-qadam
Endi biz faqat tenglamani yozishimiz kerak.
Bu erda forma tanlash uchun bizda uchta nuqta bor. Biz birinchi nuqtadan oddiygina foydalanamiz, chunki u sanab o'tilgan birinchi nuqtadir. Boshqa har qandayidan ham foydalanish mumkin.
Samolyot tenglamasi,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{14\left( {x - 4} \right) + 49\left( {y + 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}\,14x + 49y - 7z = - 98}}\]E'tibor bering, 2-bosqichdagi vektorlarni tanlaganingizga qarab, 3-bosqichda o'zaro mahsulot hisoblashda ulardan foydalanish tartibi va bu erda tanlangan nuqta javobingizga ta'sir qiladi. Biroq, sizning tanlovingizdan qat'i nazar, siz olgan tenglama, agar siz barcha ishni to'g'ri bajargan bo'lsangiz, maqbul javob bo'ladi.