12.2-bo'lim : Chiziqlar tenglamalari
5. \(\left( {1, - 2,13} \right)\) va \(\left( {2,0, - 5} \right)\) nuqtalari va \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {2 + 4t, - 1 - t,3} \right\rangle \) tomonidan berilgan chiziqning kesishish nuqtasini aniqlang yoki ularning kesishmasligini ko'rsating.
Yechim
Chunki bizda birinchi qilishimiz kerak bo'lgan birinchi qator uchun tenglama yo'q. Ikki nuqta orasidagi vektor (demak, chiziqqa parallel),
\[\vec v = \left\langle {1,2, - 18} \right\rangle \]Ro'yxatdagi birinchi nuqtadan foydalanib, birinchi qatorning tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {1, - 2,13} \right\rangle + t\left\langle {1,2, - 18} \right\rangle = \left\langle {1 + t, - 2 + 2t,13 - 18t} \right\rangle \]2-qadam
Agar ikkala chiziq kesishsa, ular umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, ma'lum bir qiymat bo'lishi kerak, deylik \(t = {t_1}\) va ba'zi (ehtimol) boshqa qiymat, \(t = {t_2}\) deb ayting, shuning uchun agar biz \({t_1}\) ni birinchi qator tenglamasiga kiritsak va \({t_2}\) ni ikkinchi qator tenglamasiga qo'shsak, biz bir xil \(x\), \({t_2}\) va MATHBLOCK14 koordinatalarini olamiz.
3-qadam
Bu shuni anglatadiki, biz quyidagi tenglamalar sistemasini o'rnatishimiz mumkin.
\[\begin{align*}1 + {t_1} & = 2 + 4{t_2}\\ - 2 + 2{t_1} & = - 1 - {t_2}\\ 13 - 18{t_1} & = 3\end{align*}\]Agar bu tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lsa, unda chiziqlar kesishadi, agar uning yechimi bo'lmasa, chiziqlar kesishmaydi.
4-qadam
Noma'lumlardan ko'ra ko'proq tenglamali tenglamalar sistemasini echish, ehtimol siz hozirgacha tez-tez duch kelgan narsa emas. Asosiy jarayon deyarli bir xil, ammo bir nechta kichik (lekin juda muhim) farqlar bilan.
Har qanday ikkita tenglamani tanlash bilan boshlang (shuning uchun bizda ikkita tenglama va ikkita noma'lum bor) va ushbu tizimni yeching. Ushbu muammo uchun birinchi va uchinchi tenglamani olaylik. Biz oxir-oqibat ikkinchi tenglama haqida qayg'uramiz.
E'tibor bering, ushbu tizim uchun uchinchi tenglama bu erda qo'llanilishi kerak, chunki biz buni \({t_1}\) uchun tezda hal qila olamiz.
Ikki tenglama va ikkita noma'lum tizimni echish hozirda hamma bilishi kerak bo'lgan narsadir, shuning uchun biz quyida yechim ishiga hech qanday aniq tushuntirish bermaymiz.
\[{t_1} = \frac{5}{9}\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}1 + \frac{5}{9} = 2 + 4{t_2} \hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in} {t_2} = - \frac{1}{9}\]5-qadam
Endi eslang, bu yechimni olish uchun biz birinchi va uchinchi tenglamalardan foydalanganmiz. Buning ma'nosi shundaki, agar biz \({t_1}\) va \({t_2}\) ning ushbu qiymatini birinchi va ikkinchi qatorlar tenglamalarida ishlatsak, \(x\) va \(z\) koordinatalari bir xil bo'ladi (esda tutingki, biz \(x\) va \(z\) bu yechim tenglamalarini topish uchun foydalanganmiz...).
Shu o‘rinda bizda \(t\) ning ushbu qiymatlarida qondirilishi kerak bo‘lgan yana bir tenglama borligini esga olishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz \({t_1} = \frac{5}{9}\) va \({t_2} = - \frac{1}{9}\) ni ikkinchi tenglamaga ulab, nima olganimizni ko'rishimiz kerak. Shunday qilib,
\[ - 2 + 2\left( {\frac{5}{9}} \right) = - \frac{8}{9} = - 1 - \left( { - \frac{1}{9}} \right)\]Yaxshi, ikki tomon bir xil. Faqat bu nimani anglatadi? Tenglamalar tizimi nuqtai nazaridan bu \({t_1} = \frac{5}{9}\) va \({t_2} = - \frac{1}{9}\) 3-bosqichdagi tenglamalar sistemasining yechimi ekanligini anglatadi.
Chiziqlar kesishadimi yoki yo'qligi nuqtai nazaridan biz \({t_1} = \frac{5}{9}\) va \({t_2} = - \frac{1}{9}\) da ikkita chiziq bir xil \(x\), \(y\) va \(z\) koordinatalariga ega bo'lishini bilamiz (chunki ular barcha uchta tenglamani qanoatlantiradi).
Boshqacha aytganda, bular ikkita chiziq kesishadi.
Bu masalani qoldirishdan oldin shuni taʼkidlab oʻtamizki, 4-bosqichda qaysi ikkita tenglamani yechishimiz muhim emas. Turli xil tenglamalar toʻplami \({t_1}\) va \({t_2}\) ning bir xil qiymatlariga olib keladi va kesishgan ikkita chiziqqa olib keladi.