12.2-bo'lim : Chiziqlar tenglamalari
4. \(x = 8 + t\), \(y = 5 + 6t\), \(z = 4 - 2t\) va \(\vec r\left( t \right) = \left\langle { - 7 + 12t,3 - t,14 + 8t} \right\rangle \) tomonidan berilgan chiziqning kesishish nuqtasini aniqlang yoki ularning kesishmasligini ko'rsating.
Yechim
Agar ikkala chiziq kesishsa, ular umumiy nuqtaga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, ma'lum bir qiymat bo'lishi kerak, deylik \(t = {t_1}\) va ba'zi (ehtimol) boshqa qiymat, deylik \(t = {t_2}\), shuning uchun agar biz \({t_1}\) ni birinchi qator tenglamasiga kiritsak va \({t_2}\) ni ikkinchi qator tenglamasiga ulasak, biz bir xil \(x\), MATHBLOCK112 MATHBLOCK13K koordinatalarini olamiz.
2-qadam
Bu shuni anglatadiki, biz quyidagi tenglamalar sistemasini o'rnatishimiz mumkin.
\[\begin{align*}8 + {t_1} & = - 7 + 12{t_2}\\ 5 + 6{t_1} & = 3 - {t_2}\\ 4 - 2{t_1} & = 14 + 8{t_2}\end{align*}\]Agar bu tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lsa, unda chiziqlar kesishadi, agar uning yechimi bo'lmasa, chiziqlar kesishmaydi.
3-qadam
Noma'lumlardan ko'ra ko'proq tenglamali tenglamalar sistemasini echish, ehtimol siz hozirgacha tez-tez duch kelgan narsa emas. Asosiy jarayon deyarli bir xil, ammo bir nechta kichik (lekin juda muhim) farqlar bilan.
Har qanday ikkita tenglamani tanlash bilan boshlang (shuning uchun bizda ikkita tenglama va ikkita noma'lum bor) va ushbu tizimni yeching. Ushbu muammo uchun faqat birinchi ikkita tenglamani olaylik. Biz oxir-oqibat uchinchi tenglama haqida qayg'uramiz.
Ikki tenglama va ikkita noma'lum tizimni echish hozirda hamma bilishi kerak bo'lgan narsadir, shuning uchun biz quyida yechim ishiga hech qanday aniq tushuntirish bermaymiz.
\[\begin{align*}{t_1} = - 15 + 12{t_2} & \hspace{0.2in} \to \hspace{0.2in} & 5 + 6\left( { - 15 + 12{t_2}} \right) & = 3 - {t_2}\\ & & - 85 + 72{t_2} & = 3 - {t_2}\\ & & 73{t_2} & = 88 & \to \hspace{0.2in} {t_2} & = \frac{{88}}{{73}}\\ & & & & {t_1} & = - 15 + 12\left( {\frac{{88}}{{73}}} \right) = - \frac{{39}}{{73}}\end{align*}\]4-qadam
Xo'sh, bu biroz "tartibsiz" yechim, lekin ular ko'pincha shunday bo'ladi, shuning uchun biz bundan juda hayajonlanmasligimiz kerak!
Keling, ushbu yechimni olish uchun biz birinchi ikkita tenglamadan foydalanganimizni eslang. Buning ma'nosi shundaki, agar biz \({t_1}\) va \({t_2}\) ning ushbu qiymatini birinchi va ikkinchi qatorlar tenglamalarida ishlatsak, \(x\) va \(y\) koordinatalari bir xil bo'ladi (esda tutingki, biz \(x\) va \(y\) tenglamalarini topish uchun foydalanganmiz).
Shu o'rinda bizda \(t\) ning ushbu qiymatlarida qondirilishi kerak bo'lgan uchinchi tenglama borligini esga olishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz \({t_1} = - \frac{{39}}{{73}}\) va \({t_2} = \frac{{88}}{{73}}\) ni uchinchi tenglamaga ulab, nima olganimizni ko'rishimiz kerak. Shunday qilib,
\[\frac{{370}}{{73}} = 4 - 2\left( { - \frac{{39}}{{73}}} \right) \ne 14 + 8\left( {\frac{{88}}{{73}}} \right) = \frac{{1726}}{{73}}\]Yaxshi, ikki tomon bir xil emas. Faqat bu nimani anglatadi? Tenglamalar tizimi nuqtai nazaridan bu \({t_1} = - \frac{{39}}{{73}}\) va \({t_2} = \frac{{88}}{{73}}\) 2-bosqichdagi tenglamalar sistemasining yechimi EMASligini bildiradi. Agar ular yechim bo'lganida, biz ikkala tomondan ham bir xil sonni olgan bo'lardik.
Chiziqlar kesishadimi yoki yo'qmi, biz faqat uchinchi tenglama chiziqlarning \(z\) koordinatalariga mos kelishini eslashimiz kerak. Biz \({t_1} = - \frac{{39}}{{73}}\) va \({t_2} = \frac{{88}}{{73}}\) da ikkita chiziq bir xil \(x\) va \(y\) koordinatalariga ega bo'lishini bilamiz (chunki ular birinchi ikkita tenglamani yechish natijasida paydo bo'lgan). Biroq, biz hozirgina ular bir xil \(z\) koordinatasini bermasligini ko'rsatdik.
Boshqacha qilib aytganda, \({t_1}\) va \({t_2}\) qiymatlari yo'q, ular uchun ikkita satr bir xil \(x\), \(y\) va \(z\) koordinatalariga ega bo'ladi. Shunday qilib, biz hozir aytishimiz mumkin ikkita chiziq kesishmaydi.
Bu masalani qoldirishdan oldin shuni taʼkidlab oʻtamizki, 3-bosqichda qaysi ikkita tenglamani yechishimiz muhim emas. Turli xil tenglamalar toʻplami \({t_1}\) va \({t_2}\) ning har xil qiymatlariga olib keladi, ammo ular bu masala uchun qolgan tenglamani qanoatlantirmaydi va biz kesishmagan chiziqlar natijasida bir xil natijaga erishamiz.