ChangeOfVariables - 6-masala yechimi | MathModel.uz

15.8-bo'lim : O'zgaruvchilarni almashtirish

6. Agar $R$ $xy = 1$, $xy = 3$, $y = 2$ va $y = 6$ bilan chegaralangan mintaqa bo'lsa, biz $\displaystyle x = \frac{v}{{6u}}$, $y = 2u$ni $R$ga o'zgartirishni qo'llagan bo'lamiz.

Yechim

Keling, $R$ eskizi bilan boshlaylik.

$A sketch of the region $R$. It is bounded on the left by the curve $xy = 1$, on the right by the curve $xy = 3$, above by the line $y = 6$ and below by the line $y = 2$, and the inside is shaded green. Dotted extensions of the two curves are drawn to show more of each curve.$

Hududning har bir chegarasining tenglamalari eskizda berilgan. Biz, shuningdek, ikkita egri chiziqning to'liqroq eskizini ko'rsatish uchun ikkita egri chiziqning "kengaytmalarini" (nuqtali qismlar) kiritdik.

2-qadam

OK, endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa chegara tenglamalarining har biriga o'zgartirishni qo'llashdir. Buning uchun biz chegara tenglamalarining har biriga konvertatsiyani ulashimiz kifoya.

$y = 6$ dan boshlaylik. Ushbu tenglamaga o'zgartirishni qo'llash,

\[2u = 6\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\underline {u = 3} \]

Shunday qilib, bu chegara $u = 3$ tenglamasiga aylanadi.

3-qadam

Keling, konvertatsiyani $xy = 3$ ga qo'llaylik.

\[\begin{align*}\left( {\frac{v}{{6u}}} \right)\left( {2u} \right) & = 3\\ \frac{v}{3} & = 3\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\underline {v = 9} \end{align*}\]

Bu chegara $v = 9$ tenglamasiga aylanadi.

4-qadam

Keyin o'zgartirishni $y = 2$ ga qo'llaymiz.

\[2u = 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\underline {u = 1} \]

Shunday qilib, bu chegara $u = 1$ tenglamasiga aylanadi.

5-qadam

Va nihoyat, $xy = 1$-ga o'zgartirishni qo'llaymiz.

\[\begin{align*}\left( {\frac{v}{{6u}}} \right)\left( {2u} \right) & = 1\\ \frac{v}{3} & = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\underline {v = 3} \end{align*}\]

Bu chegara $v = 3$ tenglamasiga aylanadi.

6-qadam

O'zgartirilgan tenglamalarni chizish quyidagi mintaqani beradi.

$A sketch of the transformed region, drawn in the uv-plane. It is a rectangle whose sides are the lines $u = 1$ on the left, $u = 3$ on the right, $v = 9$ across the top and $v = 3$ across the bottom, and the inside is shaded.$

Shunday qilib, biz transformatsiya ostida g'alati shakldagi hududni to'rtburchakga aylantiramiz.

E'tibor bering, biz $u$ ni gorizontal o'q sifatida tanladik va $v$ ni vertikal o'q sifatida o'zgartirilgan hududda ushbu muammo uchun tanladik. Buni qilish uchun hech qanday sabab yo'q, bundan tashqari, biz har doim qilgan narsamiz. Sizning tanlovingizdan qat'i nazar, bu erda aniq bo'lishi uchun o'qlarni belgilab qo'ying!