15.8-bo'lim : O'zgaruvchilarni almashtirish
4. Agar \(R\) \(\displaystyle \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) ichidagi mintaqa bo'lsa, mintaqani aniqlang, biz \(x = 2u\), \(y = 6v\)ni \(R\) ga o'zgartiramiz.
Yechim
Bu muammo uchun haqiqatan ham ko'p narsa yo'q.
Ushbu hududning o'zgarishini aniqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(R\) uchun transformatsiya chegarasi tenglamasini ulashdir. Shunday qilib,
\[\frac{{{{\left( {2u} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {6v} \right)}^2}}}{{36}} = 1\hspace{0.25in}\to \hspace{0.25in}\frac{{4{u^2}}}{4} + \frac{{36{v^2}}}{{36}} = 1\,\hspace{0.25in}\to \hspace{0.25in}{u^2} + {v^2} = 1\]Shunday qilib, \(R\) uchun chegara tenglamasi birlik doirasi tenglamasiga aylanadi va shuning uchun bu transformatsiya ostida biz ellipsni aylanaga aylantira olamiz (aslida birlik doirasi ...).
Siz elliptik mintaqani aylana mintaqaga aylantiradigan transformatsiyani qanday aniqlashni ko'rishingiz mumkin, shunday emasmi? Elliptik mintaqa bo'ylab integratsiya qilish juda yoqimsiz bo'lishi mumkin, ammo birlik diski orqali integratsiya qilish ancha yaxshi bo'ladi, shuning uchun bu qanday qilib olishni tushunish uchun yaxshi o'zgarish!