15.8-bo'lim : O'zgaruvchilarni almashtirish
10. 8-masalada qo‘llangan transformatsiyani chiqaring.
Yechim
OK, mos yozuvlar uchun biz quyidagi o'zgarishlarni olmoqchimiz,
\[x = \frac{1}{3}\left( {v - u} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = \frac{1}{3}\left( {4v - u} \right)\]Biz ushbu transformatsiyadan quyidagi mintaqada foydalandik.
Yuqoridagi mintaqaga o'zgartirishni qo'llash natijasi bizga quyidagi "yangi" mintaqani oldi.
Biz transformatsiyani olishimiz kerak. Bu birinchi qarashda deyarli imkonsiz bo'lib tuyuladi. Biroq, bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Yoki buni qanday qilishni ko'rganingizdan so'ng, bu ko'rinadigan darajada qiyin bo'lmaydi, deb aytishimiz kerak.
Chiqarish jarayonini boshlashdan oldin shuni ta'kidlashimiz kerakki, biz asl mintaqada foydalanishimiz va yangi mintaqa uchun to'rtburchaklar olishimiz mumkin bo'lgan bir nechta o'zgarishlar mavjud. Biroq, ularning barchasi bir xil to'rtburchakni keltirmaydi. Biz ma'lum bir o'zgarishlarni amalga oshirmoqchimiz, ammo boshqa o'zgarishlarga erishish uchun bu erda qilayotgan ishimizni qanday o'zgartirishingiz mumkin.
2-qadam
Biz qiladigan birinchi narsa, asl mintaqa uchun barcha chegara tenglamalarini quyidagicha qayta yozishdir.
\[\begin{align*}y & = x + 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - x = 1\\ y & = 4x - 17\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - 4x = - 17\\ y & = x - 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - x = - 2\\ y & = 4x - 8\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - 4x = - 8\end{align*}\]Keling, shuni ko'rib chiqaylikki, bizning asl mintaqamiz ikkita parallel tomonlar to'plamiga ega bo'lganligi sababli, bizning yangi tenglamalarimizni quyidagi tarzda ikkita juft tenglamaga ajratish mumkin,
\[\begin{align*}y - x & = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - x = - 2\\ y - 4x & = - 17\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y - 4x = - 8\end{align*}\]Har bir juft tenglamaning chap tomoni bir xil (i.e. ular bizning asl mintaqamizning parallel tomonlaridan kelgan). Bu "chiroyli" mintaqani beradigan hosila olish uchun hayotimizni osonlashtiradi. Albatta, bu holda biz yangi mintaqa nima bo'lishini allaqachon bilamiz, lekin umuman olganda bilmaymiz.
3-qadam
Endi biz \(u\) va \(v\) yangi o'zgaruvchilarni eski \(x\) va \(y\) o'zgaruvchilari nuqtai nazaridan shunday aniqlamoqchimizki, biz izlayotgan to'rtburchakni olamiz.
Keling, \(u\) va \(v\) ni quyidagicha aniqlaymiz (sababini birozdan keyin tushuntiramiz),
\[u = y - 4x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}v = y - x\]Ushbu ta'rif bilan biz "yangi" mintaqamiz qanday bo'lishini allaqachon ko'rishimiz mumkin. Ushbu ta'riflarni biz 2-bosqichda yozgan tenglamalarga qo'yish bizga quyidagilarni beradi:
\[\begin{align*}v & = 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}v = - 2\\ u & = - 17\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}u = - 8\end{align*}\]Aynan shu 8-muammoda biz olgan yangi mintaqa. Bu bizga ushbu taʼrifdan 8-muammodagi oʻzgarishlarni olishimizni bildiradi (bu ishni keyingi bosqichda bajaramiz).
Bundan tashqari, nima uchun biz yuqoridagi kabi \(u\) va \(v\) ta'riflarini tanlaganimizni biroz aniqroq qilish kerak. Biz bilamizki, biz integratsiyani osonlashtiradigan mintaqani xohladik va keling, to'rtburchakni integratsiya qilish juda oson, shuning uchun yangi mintaqa uchun to'rtburchaklar olishga urinish yaxshi fikr bo'lib tuyuldi.
Bu erda ikki juft tenglama o'ynaydi. Chunki biz tenglamalarni juftlashtira oldik, shuning uchun chap tomon har bir juftlikda bir xil edi, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa chap tomonlardan birini \(u\), ikkinchisini \(v\) deb belgilash va o'sha paytda biz yangi mintaqamiz sifatida to'rtburchaklar olishimizni bilib oldik.
Shuni yodda tutingki, endi \(u\) va \(v\) uchun biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan yana bir "oddiy" ta'rif bo'lishi aniq bo'lishi kerak (i.e. \(u = y - x\), \(v = y - 4x\)). Bu shunga o'xshash, ammo boshqacha, to'rtburchaklar va boshqa o'zgarishlarga olib kelgan bo'lar edi. Bizning \(u\) va \(v\) ta'rifini tanlash uchun hech qanday sabab yo'q edi, chunki biz olishni xohlagan hududni bilganimizdan tashqari, boshqa imkoniyatlardan ko'ra. 8-muammoda biz asosan tasodifiy birini tanladik.
Endi, ehtimol sizning fikringizda bir nechta savollar bor va biz oxirgi bosqichda ularning ko'pchiligiga murojaat qilamiz. Keling, buni qilishdan oldin, avvalo, haqiqiy muammoni hal qilaylik, ammo bu erda nima qilayotganimizni unutmasligimiz uchun.
4-qadam
Yakuniy bosqichda ba'zi savollarga javob berishdan oldin, keling, haqiqiy muammoni tugatamiz. 8-masalada qo'llagan transformatsiyani olish uchun biz oxirgi bosqichdan boshlab \(u\) va \(v\) ta'rifimizdan foydalanishimiz kerak.
Birinchidan, keling, yana \(u\) va \(v\) ta'rifimizdan boshlaylik.
\[\begin{align*}u & = y - 4x\\ v & = y - x\end{align*}\]Endi bizda ikkita tenglama tizimi mavjud. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz faqat \(x\) va \(y\) uchun ularni hal qilishimiz kerak.
Buni amalga oshirish uchun avval \(y\) uchun \(v\) ta'rifini hal qilaylik.
\[v = y - x\,\,\,\hspace{0.25in}\to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,y = v + x\]Buni \(u\) ta'rifiga ulang va \(x\) ni hal qiling.
\[u = y - 4x\hspace{0.25in}\to \hspace{0.25in}\,\,u = v + x - 4x = v - 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \hspace{0.25in}x = \frac{1}{3}\left( {v - u} \right)\]Bu, albatta, tanish ko'rinishi kerak. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(y\) transformatsiyasini topishdir. Buning uchun biz faqat \(x\) transformatsiyasini \(y = v + x\) ga ulaymiz va biroz soddalashtiramiz.
\[y = v + x = v + \frac{1}{3}\left( {v - u} \right) = \frac{4}{3}v - \frac{1}{3}u = \frac{1}{3}\left( {4v - u} \right)\]Shunday qilib, biz boramiz. Transformatsiya amalga oshirildi va endi buni qanday qilishni ko'rganingizdan so'ng, birinchi ko'rinishga qaramay, bu unchalik yomon emasligini ko'rishimiz mumkin.
5-qadam
Mayli, keling, hech bo'lmaganda o'zgarishlarni yaratish bo'yicha sizda bo'lishi mumkin bo'lgan ba'zi savollarga javob bera olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik.
Biz har doim istalgan mintaqani to'rtburchakga aylantira olamizmi?
Qisqa javob, albatta, YO'Q. Bu erda to'rtburchak hosil qiluvchi transformatsiyani tezda olish uchun biz to'rtta chiziqli tomonlarga ega bo'lgan asl mintaqaga ega ekanligimizga tayandik va biz ularni ikki juft parallel tomonlarga aylantira oldik. Bu amalga oshirilgandan so'ng, to'rtburchak hosil qiladigan transformatsiyani olish oson edi.
Ko'pgina hududlarni to'rtburchakga aylantirib bo'lmaydi (yoki hech bo'lmaganda osongina o'zgartirilmaydi).
Xo'sh, agar bizda to'rtta chiziqli tomoni bo'lgan mintaqa bo'lsa, lekin ularni ikkita parallel tomonlar to'plamiga aylantira olmasak-chi?
Bunday holda, muammo hali ham xuddi shunday ishlaydi, lekin bizda \(u\) va \(v\) ni aniqlash uchun ko'proq imkoniyatlar bo'ladi va natija to'rtburchak bo'lmaydi.
Bunday holatda, barcha tomonlar chiziqli bo'lganligi sababli, biz ularning har birini quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\begin{align*}& {\mbox{Side 1 : }}{a_1}y + {b_1}x = {c_1}\\ & {\mbox{Side 2 : }}{a_2}y + {b_2}x = {c_2}\\ & {\mbox{Side 3 : }}{a_3}y + {b_3}x = {c_3}\\ & {\mbox{Side 4 : }}{a_4}y + {b_4}x = {c_4}\end{align*}\]Shu nuqtada biz \(u\) ni chap tomonlardan istalgani, \(v\) esa qolgan chap tomonlar deb belgilashimiz mumkin. Bu yangi hududda bir tomon vertikal, bir tomon esa gorizontal bo'lishini kafolatlaydi. Asl mintaqaning qolgan ikki tomoni keyinchalik yangi chiziqlarga aylantiriladi va umid qilamanki, natijada paydo bo'lgan mintaqa bilan ishlash oson bo'ladi.
Ko'rib turganingizdek, bu erda \(u\) va \(v\) ning ko'plab mumkin bo'lgan ta'riflari bo'lishi mumkin, bu esa o'z navbatida juda ko'p turli xil o'zgarishlarga olib keladi.
Agar sizda to'rtta chiziqli tomoningiz ko'p yoki kamroq bo'lsa-chi?
Ushbu muammoda tasvirlangan jarayon hali ham transformatsiyani olish uchun ishlashi kerak. Olingan mintaqani integratsiya qilish osonmi yoki yo'qmi, butunlay boshqacha savollar bo'lishi mumkin va siz o'zgarishlarni yaratmaguningizcha va yangi mintaqani olish uchun ishni bajarmaguningizcha bilishning hech qanday usuli bo'lishi shart emas.
Agar sizda chiziqli bo'lmagan kamida bitta tomoningiz bo'lsa-chi?
Ushbu turdagi hududlarda ushbu muammoda tasvirlangan jarayon hali ham ishlashi mumkin, lekin u ham ishlamasligi mumkin. Bu chiziqli bo'lmagan chegara tenglamasi qanchalik "tartibsiz" ekanligiga va hatto ushbu muammoning 4-bosqichida bo'lgani kabi, \(x\) va \(y\) uchun \(u\) va \(v\) ta'riflarini ham hal qila olishimizga bog'liq bo'ladi.
Afsuski, bu savolga haqiqatan ham yaxshi javob yo'q. O'zgarishlarni olishning ko'plab usullari mavjud. Biz ushbu sinfda duch kelishingiz mumkin bo'lgan mintaqalar turini o'zgartirishning eng oson usullaridan birini tasvirlab berdik. Usul vaqti-vaqti bilan bir yoki bir nechta chiziqli bo'lmagan chegaraga ega bo'lgan mintaqalar uchun ishlaydi, ammo uning barcha mumkin bo'lgan mintaqalar bilan ishlashini kutish uchun hech qanday sabab yo'q.
Barcha o'zgarishlar shu tarzda olinganmi?
Oldingi savolga javobda aytilganidek, mutlaqo yo'q. Bu jarayon oddiygina ishlamaydigan yoki hech bo'lmaganda oson ishlamaydigan mintaqalarning ko'p turlari mavjud.
Yaxshi misol, biz 4-masalada ko‘rib chiqqan ellipsdir. Agar siz bu masalani bajargan bo‘lsangiz, tekshirish orqali ellipsni aylanaga aylantiradigan o‘zgarishlarga erishishingiz mumkinligini allaqachon bilib olasiz. Ushbu muammoda tasvirlangan jarayon ushbu mintaqada ishlamaydi.
Bu muammoning maqsadi sizni umuman o'zgarishlarni olishni o'rgatish emas edi. Bu sizga ushbu muammolardagi o'zgarishlarning qanchasi olinganligini ko'rsatish va ulardan foydalanish juda oddiy bo'lgan bitta usulni ko'rsatish edi.
Ushbu hosila usulida o'zgarishlar bormi?
Mutlaqo. Kamida bittasi uchun keyingi muammoga qarang.