Biz ushbu muammoning muhim nuqtalarini topishimiz kerak. Bu quyidagi tizimni hal qilishni anglatadi.

\[\begin{align*} & {f_x} = 0\,\,\,\,:\,\,\,\,\,18x\left( {1 + 4y} \right) = 0\\ & {f_y} = 0\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\,\,\,4\left( {9{x^2} - 1} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,\,\,x = \pm \frac{1}{3}\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda ikkinchi tenglamadan ikkita mumkin bo'lgan variant mavjud. Tenglama uchun kritik nuqtalarni olish uchun har birini birinchi tenglamaga ulashimiz mumkin.

\(\displaystyle x = \frac{1}{3}\,\,:\,\,\,6\left( {1 + 4y} \right) = 0\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,y = - \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{3}, - \frac{1}{4}} \right)\)

\(\displaystyle x = - \frac{1}{3}\,\,:\,\,\, - 6\left( {1 + 4y} \right) = 0\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,y = - \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( { - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}} \right)\)

Bu ikkala muhim nuqta bizni qiziqtirgan mintaqada va shuning uchun biz ikkalasida ham baholangan funktsiyaga muhtojmiz. Mana bu qadriyatlar,

\[f\left( {\frac{1}{3}, - \frac{1}{4}} \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( { - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}} \right) = 0\]

Endi biz mutlaq ekstremal chegarada paydo bo'lishi mumkinligini bilamiz. Shunday qilib, keling, biz ishlayotgan hududning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.

Keyin to'rtburchakning har bir tomonini quyidagicha aniqlash mumkin.

Yuqori: \(y = 4,\,\,\,\, - 2 \le x \le 3\)

Pastki: \(y = - 1,\,\,\,\, - 2 \le x \le 3\)

O'ng: \(x = 3,\,\,\,\,\,\, - 1 \le y \le 4\)

Chapda: \(x = - 2,\,\,\,\,\,\, - 1 \le y \le 4\)

Endi chegarada yuzaga kelishi mumkin bo'lgan \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremani olish uchun ushbu tomonlarning har birini tahlil qilishimiz kerak.

Keling, avval yuqori qismini ko'rib chiqaylik: \(y = 4,\,\,\,\, - 2 \le x \le 3\).

Biz \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstrema bo'lishi mumkin bo'lgan yuqoridagi nuqtalarni aniqlashimiz kerak. Bu, mohiyatan, \( - 2 \le x \le 3\) oralig'ida quyidagi tenglamaning potentsial absolyut ekstremalini topishni talab qiladi.

\[g\left( x \right) = f\left( {x,4} \right) = 17\left( { - 1 + 9{x^2}} \right)\]

Bu, albatta, a dan boshqa narsa emas Calculus I mutlaq ekstremal muammo shuning uchun biz bu erda ishni ko'p tushuntirishlarsiz bajaramiz. Agar siz bunday muammolarni qanday qilishni eslay olmasangiz, Calculus I materialidagi ushbu bo'limni o'qib chiqishingiz kerak.

\(g\left( x \right)\) uchun muhim nuqta(lar) quyidagilardir:

\[g'\left( x \right) = 306x = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x = 0\]

Ushbu muhim nuqta biz ishlayotgan intervalda, shuning uchun bu nuqta, shuningdek, yuqoridagi \(x\) chegaralari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremal bo'lgan quyidagi uchta nuqtani beradi.

\[\left( {0,4} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( { - 2,4} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\left( {3,4} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(y = 4\)! Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami quyidagicha:

\[f\left( {0,4} \right) = - 17\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( { - 2,4} \right) = 595\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,f\left( {3,4} \right) = 1360\]

Keyin pastki qismini ko'rib chiqamiz: \(y = - 1,\,\,\,\, - 2 \le x \le 3\). Bu tomon uchun biz \( - 2 \le x \le 3\) oralig'ida quyidagi funktsiyaning mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarini aniqlashimiz kerak.

\[g\left( x \right) = f\left( {x, - 1} \right) = - 3\left( { - 1 + 9{x^2}} \right)\]

Ushbu bosqichda \(g\left( x \right)\) uchun muhim nuqta(lar) quyidagilardir:

\[g'\left( x \right) = - 54x = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x = 0\]

Ushbu muhim nuqta biz ishlayotgan intervalda, shuning uchun bu nuqta, shuningdek, pastki qism uchun \(x\) chegaralari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstrema bo'lgan quyidagi uchta nuqtani beradi.

\[\left( {0, - 1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( { - 2, - 1} \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\left( {3, - 1} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(y = - 1\)! Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami, keyin,

\[f\left( {0, - 1} \right) = 3\hspace{0.5in}f\left( { - 2, - 1} \right) = - 105\hspace{0.5in}f\left( {3, - 1} \right) = - 240\]

Keling, o'ng tomonni ko'rib chiqaylik: \(x = 3,\,\,\,\,\,\, - 1 \le y \le 4\). Bu tomon uchun biz \( - 1 \le y \le 4\) oralig'ida quyidagi funktsiyaning mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarini aniqlashimiz kerak.

\[h\left( y \right) = f\left( {3,y} \right) = 80\left( {1 + 4y} \right)\]

Ushbu bosqichdan \(h\left( y \right)\) hosilasi:

\[h'\left( y \right) = 320\]

Bunday holda, ushbu chegara bo'ylab funktsiyaning muhim nuqtalari mavjud emas. Shunday qilib, faqat o'ng tomon uchun chegaralar \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremaldir.

\[\left( {3, - 1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {3,4} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(x = 3\)! Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami quyidagicha:

\[f\left( {3, - 1} \right) = - 240\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( {3,4} \right) = 1360\]

Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, shuni ta'kidlaymizki, bu ikkala nuqta ham oldingi bosqichlarda sanab o'tilgan va shuning uchun bu erda yozilishi shart emas. Bu har doim chegara nuqtalari bilan sodir bo'ladi (bu erda bo'lgani kabi). Chegara nuqtalari har doim bir nechta chegara bosqichlarida namoyon bo'ladi.

Va nihoyat, chap tomonni ko'rib chiqaylik: \(x = - 2,\,\,\,\,\,\, - 1 \le y \le 4\). Ushbu tomon uchun biz \( - 1 \le y \le 4\) oralig'ida quyidagi funktsiyaning mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarini aniqlashimiz kerak.

\[h\left( y \right) = f\left( { - 2,y} \right) = 35\left( {1 + 4y} \right)\]

Ushbu bosqichdan \(h\left( y \right)\) hosilasi:

\[h'\left( y \right) = 140\]

Bunday holda, ushbu chegara bo'ylab funktsiyaning muhim nuqtalari mavjud emas. Shunday qilib, biz faqat o'ng tomon uchun chegaralar \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremaldir.

\[\left( { - 2, - 1} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( { - 2,4} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(x = - 2\)! Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami quyidagicha:

\[f\left( { - 2, - 1} \right) = - 105\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f\left( { - 2,4} \right) = 595\]

Oldingi bosqichda bo'lgani kabi, bu ikkalasi ham chegara nuqtalari va oldingi bosqichlarda paydo bo'lgan. Ular to'liqlik uchun bu erda keltirilgan.

Xulosa qilib aytganda, biz ishlayotgan mintaqadagi ushbu funktsiya uchun barcha potentsial mutlaq ekstremallar va ularning funktsiya qiymatlari.

\[\begin{align*}f\left( {0,4} \right) & = - 17\hspace{0.2in} & f\left( { - 2,4} \right) & = 595\hspace{0.2in} & f\left( {3,4} \right) & = 1360\\ f\left( {0, - 1} \right) & = 3\hspace{0.2in} & f\left( { - 2, - 1} \right) & = - 105\hspace{0.2in} & f\left( {3, - 1} \right) & = - 240\end{align*}\]

Ushbu ro'yxatdan biz funktsiyaning mutlaq maksimali \(\left( {3,4} \right)\) da sodir bo'ladigan 1360 bo'lishini va funktsiyaning mutlaq minimumi \(\left( {3, - 1} \right)\) da sodir bo'lgan -240 bo'lishini ko'rishimiz mumkin.