Biz ushbu muammoning muhim nuqtalarini topishimiz kerak. Bu quyidagi tizimni hal qilishni anglatadi.

\[\begin{align*} & {f_x} = 0\,\,\,\,:\,\,\,\,\,576{x^2} - 4{y^2} = 0\\ & {f_y} = 0\,\,\,\,:\,\,\,\,\,\,\,\,2y\left( {1 - 4x} \right) = 0\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\,\,\,y = 0\,\,\,{\mbox{or}}\,\,\,x = \frac{1}{4}\end{align*}\]

Shunday qilib, bizda ikkinchi tenglamadan ikkita mumkin bo'lgan variant mavjud. Tenglama uchun kritik nuqtalarni olish uchun har birini birinchi tenglamaga ulashimiz mumkin.

\(y = 0\,\,:\,\,\,576{x^2} = 0\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {0,0} \right)\)

\(x = \frac{1}{4}\,\,:\,\,\,\,36 - 4{y^2} = 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,y = \pm 3\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{4},3} \right)\,\,\,\,\,{\mbox{and}}\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{1}{4}, - 3} \right)\)

Yaxshi, bizda yuqorida sanab o'tilgan uchta muhim nuqta bor. Shuni ham yodda tutingki, biz faqat biz ishlayotgan mintaqadagi muhim nuqtalardan foydalanamiz. Bunday holda, oxirgi ikkitasi mintaqadan tashqarida bo'lgan \(y\) qiymatlariga ega (agar bunga ishonganingizga ishonchingiz komil bo'lmasa, keyingi bosqichda mintaqaning eskizini chizib oldik!) va shuning uchun biz ularni e'tiborsiz qoldira olamiz.

Shuning uchun, biz foydalanishimiz kerak bo'lgan ushbu ro'yxatdagi yagona muhim nuqta - bu birinchi. Shuni ham yodda tutingki, bu holda, bu mintaqaning chegarasini belgilaydigan nuqtalardan biri bo'ladi. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, lekin har doim ham bo'lmaydi.

Shunday qilib, bizning mintaqamizdagi yagona muhim nuqta uchun funktsiya qiymati kerak bo'ladi. Mana bu qiymat,

\[f\left( {0,0} \right) = 0\]

Endi biz mutlaq ekstremal chegarada paydo bo'lishi mumkinligini bilamiz. Shunday qilib, keling, biz ishlayotgan hududning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.

Keyin uchburchakning har bir tomonini quyidagicha aniqlash mumkin.

Yuqori: \(y = 2,\,\,\, - 2 \le x \le 4\)

O'ng: \(y = \frac{1}{2}x,\,\,\,0 \le x \le 4\)

Chapda: \(y = - x,\,\,\, - 2 \le x \le 0\)

Endi chegarada yuzaga kelishi mumkin bo'lgan \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremani olish uchun ushbu tomonlarning har birini tahlil qilishimiz kerak.

Keling, avval yuqori qismini ko'rib chiqaylik: \(y = 2,\,\,\, - 2 \le x \le 4\).

Biz \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstrema bo'lishi mumkin bo'lgan yuqoridagi nuqtalarni aniqlashimiz kerak. Bu, mohiyatan, \( - 2 \le x \le 4\) oralig'ida quyidagi tenglamaning potentsial absolyut ekstremasini topishni talab qiladi.

\[g\left( x \right) = f\left( {x,2} \right) = 192{x^3} - 16x + 4\]

Bu, albatta, a dan boshqa narsa emas Calculus I mutlaq ekstremal muammo shuning uchun biz bu erda ishni ko'p tushuntirishlarsiz bajaramiz. Agar siz bunday muammolarni qanday qilishni eslay olmasangiz, Calculus I materialidagi ushbu bo'limni o'qib chiqishingiz kerak.

\(g\left( x \right)\) uchun muhim nuqta(lar) quyidagilardir:

\[g'\left( x \right) = 576{x^2} - 16 = 0\hspace{0.5in}\to \hspace{0.5in}x = \pm \frac{1}{6}\]

Shunday qilib, bu ikki nuqta, shuningdek yuqoridagi \(x\) chegaralari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremal bo'lgan quyidagi to'rtta nuqtani beradi.

\[\left( {\frac{1}{6},2} \right)\hspace{0.5in}\left( { - \frac{1}{6},2} \right)\hspace{0.5in}\left( { - 2,2} \right)\hspace{0.5in}\left( {4,2} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(y = 2\)! Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami, keyin,

\[f\left( {\frac{1}{6},2} \right) = \frac{{20}}{9}\hspace{0.5in}f\left( { - \frac{1}{6},2} \right) = \frac{{52}}{9}\hspace{0.5in}f\left( { - 2,2} \right) = - 1,500\hspace{0.5in}f\left( {4,2} \right) = 12,228\]

Keyin o'ng tomonni ko'rib chiqamiz: \(y = \frac{1}{2}x,\,\,\,0 \le x \le 4\). Bu tomon uchun biz \(0 \le x \le 4\) oralig'ida quyidagi funktsiyaning mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarini aniqlashimiz kerak.

\[g\left( x \right) = f\left( {x,\frac{1}{2}x} \right) = \frac{1}{4}{x^2} + 191{x^3}\]

Ushbu bosqichda \(g\left( x \right)\) uchun muhim nuqta(lar) quyidagilardir:

\[g'\left( x \right) = \frac{1}{2}x + 573{x^2} = x\left( {\frac{1}{2} + 573x} \right) = 0\hspace{0.5in}\to \hspace{0.5in}x = 0,\,\,\,\,x = - \frac{1}{{1146}}\]

Endi, muammoning ushbu qismi uchun biz \(0 \le x \le 4\) oralig'i bilan chegaralanganimizni eslang va shuning uchun yuqoridagi ikkinchi muhim nuqta ishlatilmaydi, chunki u ushbu intervaldan tashqarida joylashgan.

Shunday qilib, \(0 \le x \le 4\) oralig'ida joylashgan yuqoridan bitta nuqta, shuningdek, o'ng uchun \(x\) chegaralari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremal bo'lgan quyidagi ikkita nuqtani beradi.

\[\left( {0,0} \right)\hspace{0.5in}\left( {4,2} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(y = \frac{1}{2}x\)! Shuni ham yodda tutingki, bu holda, muhim nuqtalardan biri yakuniy nuqtalardan biri bo'ldi.

Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami quyidagicha:

\[f\left( {0,0} \right) = 0\hspace{0.5in}f\left( {4,2} \right) = 12,228\]

Keyingi bosqichga o'tishdan oldin, ikkalasi ham oldingi bosqichlarda paydo bo'lganligini unutmang. Bu ba'zida sodir bo'ladi, lekin biz ko'p hollarda bu sodir bo'lishini kuta olmaymiz, shuning uchun biz har bir chegara uchun ishni bajarishimiz kerak.

Buning asosiy istisnosi odatda intervallarimizning so'nggi nuqtalaridir, chunki ular har doim ikkita chegara tekshiruvida bo'linadi va shuning uchun amalga oshirilgandan so'ng, yana tekshirilishi shart emas. To'liqlik uchun biz bu yerga so'nggi nuqtalarni kiritdik.

Va nihoyat, chap tomonni ko'rib chiqaylik: \(y = - x,\,\,\, - 2 \le x \le 0\). Ushbu tomon uchun biz \( - 2 \le x \le 0\) oralig'ida quyidagi funktsiyaning mumkin bo'lgan mutlaq ekstremallarini aniqlashimiz kerak.

\[g\left( x \right) = f\left( {x, - x} \right) = {x^2} + 188{x^3}\]

Ushbu bosqichda \(g\left( x \right)\) uchun muhim nuqta(lar) quyidagilardir:

\[g'\left( x \right) = 2x + 564{x^2} = 2x\left( {1 + 282x} \right) = 0\hspace{0.5in}\to \hspace{0.5in}x = 0,\,\,\,\,x = - \frac{1}{{282}}\]

Ularning ikkalasi ham muammoning ushbu qismi uchun cheklangan \( - 2 \le x \le 0\) oralig'ida.

Shunday qilib, yuqoridan ikki nuqta, shuningdek, o'ng uchun \(x\) chegaralari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremal bo'lgan quyidagi uchta nuqtani beradi.

\[\left( { - \frac{1}{{282}},\frac{1}{{282}}} \right)\hspace{0.5in}\left( {0,0} \right)\hspace{0.5in}\left( { - 2,2} \right)\]

Eslatib o'tamiz, ushbu bosqichda biz \(y = - x\)! Shuni ham yodda tutingki, bu holda, muhim nuqtalardan biri yakuniy nuqtalardan biri bo'ldi.

Shunday qilib, \(f\left( {x,y} \right)\) uchun potentsial mutlaq ekstremalarning keyingi to'plami quyidagicha:

\[f\left( { - \frac{1}{{282}},\frac{1}{{282}}} \right) = \frac{1}{{238,572}}\hspace{0.5in}f\left( {0,0} \right) = 0\hspace{0.5in}f\left( { - 2,2} \right) = - 1,500\]

Oldingi bosqichda bo'lgani kabi, shuni ta'kidlashimiz mumkinki, yuqoridagi ikkala so'nggi nuqta ham muammoda ilgari sodir bo'lgan va bu erda tekshirilishi shart emas. Ular faqat to'liqlik uchun kiritilgan.

Xulosa qilib aytganda, biz ishlayotgan mintaqadagi ushbu funktsiya uchun barcha potentsial mutlaq ekstremallar va ularning funktsiya qiymatlari.

\[\begin{align*}f\left( {\frac{1}{6},2} \right) & = \frac{{20}}{9}\hspace{0.2in} & f\left( { - \frac{1}{6},2} \right) & = \frac{{52}}{9} & \hspace{0.2in}f\left( { - 2,2} \right) = - 1,500\hspace{0.5in}f\left( {4,2} \right) = 12,228\\ f\left( {0,0} \right) & = 0 \hspace{0.2in} & f\left( { - \frac{1}{{282}},\frac{1}{{282}}} \right) & = \frac{1}{{238,572}} & \end{align*}\]

Ushbu ro'yxatdan biz funktsiyaning mutlaq maksimali \(\left( {4,2} \right)\) da sodir bo'ladigan 12,228 bo'lishini va funktsiyaning mutlaq minimumi \(\left( { - 2,2} \right)\) da sodir bo'lgan -1,500 bo'lishini ko'rishimiz mumkin.